[أحمد سعد الدين]

ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟


نفرض أن العددان هما : أ ، ب

أ + ب = 9 (أ - ب)
أ^2 - ب^2 = 81

(أ - ب)(أ + ب) = 81
9 (أ - ب)^2 = 81
(أ - ب)^2 = 9
(أ - ب) = + 3 أو - 3

عند (أ - ب) = 3
يكون : (أ + ب) = 27
وينتج أن :
أ = 15 ، ب = 12

عند (أ - ب) = - 3
يكون : (أ + ب) = - 27
وينتج أن :
أ = - 15 ، ب = - 12

[أحمد سعد الدين]

حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟


نفرض أن العدد = أ

أ + أ^2 = 9 (أ + 1)
أ^2 - 8 أ - 9 = 0

أ^2 - [(9 + (- 1)]* أ + (9 × - 1) = 0

أ = 9 أو أ = - 1

يحققان الشروط

[أحمد سعد الدين]

لأى عددين حقيقيين س ، ص - برهن أن : س^2 +/- س*ص + ص^2 >/= 0


(س + ص)^2 = س^2 + ص^2 + 2 س*ص
س*ص = 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

(س - ص)^2 = س^2 + ص^2 - 2 س*ص
- س*ص = 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

إذن :

س^2 + س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س + ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

س^2 - س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س - ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

وتساوى الصفر فى حالة س = ص = 0

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

مجموع مربعات ثلاثة اعداد (صحيحة ) متتالية

يساوى مجموع مربعى العددان التاليين لهما فما هى الاعداد الخمسة



نفرض أن العدد الأول = س


أولا : فى حالة التزايد :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س + 1) ، (س + 2) ، (س + 3) ، (س + 4)

س^2 + (س + 1)^2 + (س + 2)^2 = (س + 3)^2 + (س + 4)^2

ومنها :

س = - 2
وتكون الأعداد هى : - 2 ، - 1 ، 0 ، 1 ، 2

أو

س = 10
وتكون الأعداد هى : 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14


ثانيا : فى حالة التناقص :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س - 1) ، (س - 2) ، (س - 3) ، (س - 4)

س^2 + (س - 1)^2 + (س - 2)^2 = (س - 3)^2 + (س - 4)^2

س = 2
وتكون الأعداد هى : 2 ، 1 ، 0 ، - 1 ، - 2

أو

س = - 10
وتكون الأعداد هى : - 10 ، - 11 ، - 12 ، - 13 ، - 14

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

إذا كان :
لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
فأوجد قيمة س ، ص

لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو[(س + 1)(س + 4)] للأساس 3 = لو[3 × 7] للأساس 3
ومنها :
(س + 1)(س + 4) = 21 ........................... (1)

لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
لو[(2س - 1)(س - 2)] للأساس 9 = 1/2 = لو[9^1/2] للأساس 9
ومنها :
(2س - 1)(س - 2) = 9^1/2 = 3 ................... (2)

بحل المعادلتين (1) ، (2) فى مجهولين س ، ص
ينتج أن :
س × ص = 6
وبالتعويض عن قيمة ص = 6/س فى المعادلة (2)
4 س^2 - 11 س + 6 = 0
وباستخدام القانون العام لايجاد جذرى المعادلة من الدرجة الثانية فى مجهول واحد س
فيكون :
س = 2 ــــــــــــــــــــــ> ص = 3
أو
س = 3/4 ــــــــــــــــــــ> ص = 8