" المسابقة الرياضية الكبرى " - الصفحة 8

Weierstrass-Casorati · #1 11-07-2010, 22:23

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

- أثبت بدون استخدام الاستقراء الرياضي أن

$\150dpi 4|5^n+3 : n\in \mathbb{N}\wedge n\geq 1$

حيث الاشارة | تعني أن 4 تقسم العدد الاخر ...

تحذير: عبارة "يقبل القسمة على الأربعة" ستتكرر كثيرا

الخمسة مرفوعة لأي قوة (بالشرط المذكور في السؤال) تعطي رقم آخره 25 وبإضافة 3 يكون آخره 28
وأي رقم يكون آخر خانتين منه رقم يقبل القسمة على الأربعة فإن العدد كله يقبل القسمة على الأربعة وذلك لأنه يمكن كتابته مهما طال كمجموع "مئات أو آلاف او عشرات آلاف .... إلخ" وهي تقبل القسمة على الأربعة + "الرقم المكون من آخر خانتين" ويقبل القسمة على الأربعة وبالتالي العدد كله قابل للقسمة على الأربعة
و28 يقبل القسمة ع الأربعة
وبالتالي تكون 5 مرفوعة لأي قوة + 3 = رقم يقبل القسمة على الأربعة

تنفع الإجابة هاي؟ ولا لازمها برهان رياضي

Weierstrass-Casorati · #2 12-07-2010, 04:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

- أثبت بثلاث طرق مختلفة ليس من بينها الاستقراء الرياضي أن

$\150dpi 1+2+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

الطريقة (1) :
بتنظيم الأرقام في صفين وعدد من الأعمدة $\frac{n}{2}$

$\begin{array}{lcl} & 1 \;\;\;\; \;\;\;\;\;\; 2\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\; 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;....\;\;\;\;\;(\frac{n}{2}-2)\;\;\;\;\;(\frac{n}{2}-1)\;\;\;\;\;\;\;(\frac{n}{2})\\ & n \;\;\; \;\; (n-1)\;\;\;\;\;(n-2)\;\;\;\;\; ....\;\;\;\;(\frac{n}{2}+3)\;\;\;\;\;(\frac{n}{2}+2)\;\;\;(\frac{n}{2}+1) \end{array}$

نلاحظ أن مجموع كل زوج في أي من الاعمدة = $(n+1)$
فيكون مجموع هذه الأعداد = مجموع كل زوج × عدد الأزواج
$1+2+3+....+n=(n+1)(\frac{n}{2})=\frac{n(n+1)}{2}$

الطريقة (2) :

متوسط الأعداد من 1 إلى n = مجموع هذه الأعداد ÷ عددهم (n)
ومنها

$\begin{array}{lcl} &sum=average\times n\\\\ &since:\; average=\frac{(1+n)}{2}\\\\ &\Rightarrow (1+2+...+n)= \frac{n(n+1)}{2} \end{array}$

Weierstrass-Casorati · #3 31-07-2010, 18:32

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

- أثبت بثلاث طرق مختلفة ليس من بينها الاستقراء الرياضي أن

$\150dpi 1+2+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

بالتعويض المباشر في صيغة faulhaber

$\sum_{k=1}^{n}k^p = \frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\binom{p+1}{j}B_j \, n^{p+1-j}$

حيث $B_0 = 1\: , B_1 =\frac{1}{2}$

بالتعويض عن $p=1$

$\sum_{k=1}^{n}k =\frac{1}{2}\times1\times \binom{2}{0}\times1\times n^2 +\frac{1}{2}\times (-1)\times \binom{2}{1}\times \frac{1}{2}\times n$

$1+2+3+....+n=\frac{n^2 }{2} -\frac{n}{2} =\frac{n(n-1)}{2}$

Weierstrass-Casorati · #4 01-08-2010, 00:02

متأسف ع الخطأ في مشاركتي

والصحيح
$\sum_{k=1}^{n}k^p = \frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\binom{p+1}{j}B_j \, n^{p+1-j}$

حيث $B_0 = 1\: , B_1 =\frac{-1}{2}$

بالتعويض عن $p=1$

$\sum_{k=1}^{n}k =\frac{1}{2}\times1\times \binom{2}{0}\times1\times n^2 -\frac{1}{2}\times (-1)\times \binom{2}{1}\times \frac{1}{2}\times n$

$1+2+3+....+n=\frac{n^2 }{2} +\frac{n}{2} =\frac{n(n+1)}{2}$

Weierstrass-Casorati · #5 02-08-2010, 22:37

محاولة في سؤال الجبر

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &y^2 = x^2 + x -1\\ & y = \pm \sqrt{x^2 + x -1} \:\:\:\:(1) \end{array}$

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &x(x+1)=y^2 +1\\ &x^2 +x=y^2 +1\\ &4x^2 + 4x = 4y^2 +4 \end{array}$

بإكمال مربع

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &4x^2 + 4x+1 = 4y^2 +5\\ &(2x +1)^2 - 4y^2 = 5 \\ &(2x +1)^2 - (2y)^2 = 5 \\ \end{array}$

الطرف الأيسر فرق بين مربعين والايمن عدد أولي

$\120dpi \large (2x+2y+1)(2x-2y+1)=5$

فيكون هناك اربع احتمالات
الأول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=5\\ &(2x-2y+1)=1\\ &\Rightarrow 4x+2=6\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\\ &from\: (1)\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والثاني
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=-5\\ &(2x-2y+1)=-1\\ &\Rightarrow 4x+2=-6\Rightarrow 4x=-8\Rightarrow x=-2\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والاحتمالين الثالث والرابع يعطيان نفس الحلول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=1\\ &(2x-2y+1)=5\\ &\Rightarrow x=1\Rightarrow y = \pm1\\ &(2x+2y+1)=-1\\ &(2x-2y+1)=-5\\ &\Rightarrow x=-2\Rightarrow y = \pm1\\ \end{array}$

فتكون الازواج المرتبة الصحيحة التي تحقق المعادلة هي
$\120dpi \large (1,1),(1,-1),(-2,1)(2,-1)$

علمى علمك · #6 11-07-2010, 17:56

السلام عليكم

اخى مهند و اخى Weierstrass-Casorati

بارك الله فى مجهوداتكم

لى ملاحظات على المشاركة ( 29 ) ...... كاضافة

الاحتمال الثانى -1 = k و هو مرفوض بالطبع

الاحتمال الثالث صفر او 1 = n

و منها 1 او -1 او جذر 2 او - جذر 2 = k

و هذا كله بالطبع لا يغير من حل اخى Weierstrass-Casorati

الرائع

مهند الزهراني · #7 12-07-2010, 13:59

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة علمى علمك

السلام عليكم

اخى مهند و اخى Weierstrass-Casorati

بارك الله فى مجهوداتكم

لى ملاحظات على المشاركة ( 29 ) ...... كاضافة

الاحتمال الثانى -1 = k و هو مرفوض بالطبع

الاحتمال الثالث صفر او 1 = n

و منها 1 او -1 او جذر 2 او - جذر 2 = k

و هذا كله بالطبع لا يغير من حل اخى Weierstrass-Casorati

الرائع

حياك الله أخي تشرفنا مشاركتك معنا ، نعم كلامك صحيح لكن وربما كان اتمام الحل للنهاية ، لكن لم استطع أن أعلق لأن باقي الحل صحيح ...

دلع بنوته · #8 11-07-2010, 17:57

$\150dpi 1!\times 2!\times 3!...\times 8!$

بدأت بالحل في اني حولتها الى تباديل
8! تباديل 1 \ ن^2 =س
حيث ن^2 هو العدد المربع الذي يقبل القسمة على 8! تباديل 1
س هو ناتج القسمة
من قوانين التباديل
8! \( 8! - ن^2 ) ! = س
س = 2ن
لأن 8! عدد زوجي لذلك يقبل القسمة على العدد الزوجي
8! \( 8! - ن^2 ) ! = 2ن
بضرب الطرفين في الوسطين
40320 =2ن × ( 8! - ن^2 ) !
وتوقفت هنا ولم أستطع اكمال الحل
دائما أبدأ الحل لكن لا استطيع الإكمال

مهند الزهراني · #9 12-07-2010, 14:02

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دلع بنوته

$\150dpi 1!\times 2!\times 3!...\times 8!$

بدأت بالحل في اني حولتها الى تباديل
8! تباديل 1 \ ن^2 =س
حيث ن^2 هو العدد المربع الذي يقبل القسمة على 8! تباديل 1
س هو ناتج القسمة
من قوانين التباديل
8! \( 8! - ن^2 ) ! = س
س = 2ن
لأن 8! عدد زوجي لذلك يقبل القسمة على العدد الزوجي
8! \( 8! - ن^2 ) ! = 2ن
بضرب الطرفين في الوسطين
40320 =2ن × ( 8! - ن^2 ) !
وتوقفت هنا ولم أستطع اكمال الحل
دائما أبدأ الحل لكن لا استطيع الإكمال

أهلا حياك الله ، ما شفناك هنا من فترة :a_plain111:

بخصوص فكرة حلك لم أحل بها ولن أعلق الا على الحل النهائي ....

لكن كمساعدة لما لا تحللين كل عدد لعوامله الاولية ثم تكتبي العوامل النهائية لكل العدد وبعدين استخدمي مبدأ العد ، لكن بطريقة ذكية شوي

Weierstrass-Casorati · #10 13-07-2010, 00:53

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

لكن كمساعدة لما لا تحللين كل عدد لعوامله الاولية ثم تكتبي العوامل النهائية لكل العدد وبعدين استخدمي مبدأ العد ، لكن بطريقة ذكية شوي

أنا عملت هيك
الحل طلع معي 360

إذا كان صحيح راح احط الخطوات

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !