لنتدرب معا للأولمبياد

مهند الزهراني · #1 17-03-2011, 22:24

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اللهم صل على محمد وآله الطيبين الطاهرين وصحبه الغر الميامين

باذن الله عزوجل سنبدأ في هذا الموضوع بطرح مسائل وأفكار متدرجة تفيد للتدرب للأولمبياد المحلي واختبار الترشيح للأولمبياد الدولي وربما تعطي افكار جيدة وغنية للمسابقات الرياضية

ونبدأ بسؤال بسيط

1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود $p(x)$ على المقدار $x+3$
هو 5 ، وباقي قسمتها على $x-1$ هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما ..

boujdour2009 · #2 18-03-2011, 03:16

اظ،ــــــــــن ان المسالة ناقصة من ناحية المعطى

على اي مقدار سنقسم P لكي يعطــــي باقي القسمة العدد 5

nuha1423 · #3 18-03-2011, 08:22

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة boujdour2009

اظ،ــــــــــن ان المسالة ناقصة من ناحية المعطى

على اي مقدار سنقسم P لكي يعطــــي باقي القسمة العدد 5

على x+3

1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود $p(x)$ على المقدار $x+3$
هو 5 ، وباقي قسمتها على $x-1$ هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما

بارك الله فيك مهند فكرة رائعة

وبانتظار الحلول

زهرة الأوركيد · #4 18-03-2011, 15:17

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اللهم صل على محمد وآله الطيبين الطاهرين وصحبه الغر الميامين

باذن الله عزوجل سنبدأ في هذا الموضوع بطرح مسائل وأفكار متدرجة تفيد للتدرب للأولمبياد المحلي واختبار الترشيح للأولمبياد الدولي وربما تعطي افكار جيدة وغنية للمسابقات الرياضية

ونبدأ بسؤال بسيط

1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود $p(x)$ على المقدار $x+3$
هو 5 ، وباقي قسمتها على $x-1$ هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما ..

وعليكم السلام ورحمة الله

شكرا لك أستاذ مهند على هذه الفكرة الجميلة

الحل /
باقي القسمة لابد أن يكون درجته أقل من درجة المقسوم عليه ولذلك ، فالباقي من الدرجة الأولى أو عدد ثابت ..

$ p(x) = q (x-1)(x+3) + r(x)\\ p(1) = r(1) =1\\ p(-3)=r(-3) =5\\ $
إذن الباقي ليس ثابتا بل دالة خطية ..

$ r(x)= mx+c\\ m=\frac{-4}{4}=-1\\ c=r(1)+1=2\\ r(x) =2-x $

مهند الزهراني · #5 19-03-2011, 10:15

حل جميل وبداية موفقة

مهند الزهراني · #6 19-03-2011, 10:18

السؤال الثاني

2- أوجد كل الأعداد الطبيعية n التي تجعل العدد التالي مربع كامل

$2^4+2^7+2^n$

زهرة الأوركيد · #7 19-03-2011, 14:32

$ 2^4+2^7+2^n = 2^{2\times2}+2\times 2^{2+4}+2^n\Rightarrow n=2\times4 = 8 $

لكن كيف أثبت أنه الحل الوحيد أم هناك غيره ، لا أدري !؟

مهند الزهراني · #8 19-03-2011, 21:14

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زهرة الأوركيد

$ 2^4+2^7+2^n = 2^{2\times2}+2\times 2^{2+4}+2^n\Rightarrow n=2\times4 = 8 $

لكن كيف أثبت أنه الحل الوحيد أم هناك غيره ، لا أدري !؟

حلو ، طيب اش رايك تفكري انه المقدار ممكن تسويه على شكل مربع كامل ؟ يعني زي مفكوك المربع الكامل ؟

هذي فكرة وفي فكرة ثانية لكن الاولى أسهل

وأعتذر عن التأخر بالرد

إشراقة · #9 19-03-2011, 23:16

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته..

حقيقة انقطعت عن المنتدى الفترة الماضية..و سررت كثيرا بعودة مواضيعك أخانا مهند..
وللتو رأيت الموضوع..وهذه مشاركتي:

زهرة الأوركيد · #10 19-03-2011, 23:18

أستاذ مهند أنا فعلا طبقت على مفكوك المربع ، ﻷنني اعتبرت أن الحد الأول هو مقدار مربع ، الحد الأوسط هو عبارة عن 2 ضرب الأول ضرب الثاني ، والحد الثالث لابد أن يكون مربعا ..
ومن الحد الأوسط وبمعرفة الحد الأول استنتجت الحد الأخير حيث جذر الحد الأول 2^2 فلابد أن جذر الأخير هو 2^4 وبالتالي n=8 ، ربما نسيت أن أكتب المقدار على شكل (حاصل جمع عددين)^2 ..

فهل قصدت طريقة أخرى تختلف عنها ؟

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !