[أحمد سعد الدين]

حلول تمارين

فى

حساب المثلثات

[أحمد سعد الدين]

ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4

ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث

جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5

جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

إذن :

( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن
ظا 3 س = ظا س × ظا ( 60 - س ) × ظا ( 60 + س )

ومن ذلك أثبت أن
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

قام الابن سامح بإثبات المطلوب الأول

بالنسبة للمطلوب الثانى :

حيث أن : ظا(60 - س)* ظا(60 + س) = ظا3 س / ظاس

ظا50 ظا70 = ظا(60 - 10 )* ظا(60 + 10) = ظا30 / ظا10

ظا50 ظا60 ظا70 = ظا30 ظا60/ ظا10 = 1 / ظا10

ظا80 = ظا(90 - 10) = ظتا10 = 1 / ظا10

ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن جتا^2 س+ جتا^2(أ+س)-2جتا أ جتا س جتا (أ+س) تأخذ القيمة نفسها لجميع قيم س المختلفة.

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن :
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4



نفرض أن :

ظاهـ = 120/119

ظاى = 1/239

ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)

= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]

= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]

= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]

= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1

هـ - ى = ط/4

ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س



ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]

ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس

= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]

= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا3س ظا2س ظاس

حيث :

[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س

[أحمد سعد الدين]

من قمة منارة الإسكندرية البالغ ارتفاعها 120متراً رصدت سفينتان في وقت واحد، فوجد أن زاوية انخفاض السفينة الأولى الواقعة في اتجاه 38ه شرق الجنوب من المنارة هي 6¯23ه ووجد أن زاوية انخفاض السفينة الثانية الواقعة في الاتجاه 68ه غرب الجنوب من المنارة هي 18¯59ه . أوجد المسافة بين السفينتين

نفرض أن السفينة الأولى تقع عند ب ، والسفينة الثانية تقع عند ج

<(ب أ ج) = 38 + 68 = 106 درجة ستينية

<(د ب أ) = 23 درجة ، 6 دقائق = 23.1 درجة ستينية

<(د ج أ) = 59 درجة ، 18 دقيقة = 59.3 درجة ستينية

المثلث أ ب د قائم الزاوية فى أ

أ ب = أ د / ظا23.1 = 120/0.42 = 285.7 متر

المثلث أ ج د قائم الزاوية فى أ

أ ج = أ د / ظا59.3 = 120/1.68 = 71 متر

المثلث ب أ ج

(ب ج)^2 = (ب أ)^2 + (ج أ)^2 - 2*(ب أ)(ج أ)جتا 106

(ب ج)^2 = (285.7)^2 + (71)^2 + 2*285.7*71*0.27

المسافة بين السفينتين = ب ج = 312 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن :
ظا 81 - ظا 9 = 2÷ ظا 18



ظا81 = ظتا9 = 1/ظا9

ظا 81 - ظا 9 = 1/ظا9 - ظا9 = (1 - ظا^2(9))/ظا9

= 2*(1 - ظا^2(9))/2*ظا9 = 2/ظا18

حيث : ظا18 = 2*ظا9 / (1 ظا^2(9))

[أحمد سعد الدين]

شاهد رجل من نقطة في المستوى الأفقي المار بسفح تل أن زاوية ارتفاع قمة التل 15¯10درجة وبعد أن صعد مسافة 1000متر على مستوى يميل على الأفقي بزاوية 30¯7درجة وجدَ أن قياس زاوية ارتفاع قمة التل هي 40¯15درجة . أحسب ارتفاع التل.

كما هو موضح بالرسم عاليه :

أ د = 1000*جتا7.5 = 990 متر تقريبا

هـ د = هـ1 ب = 1000*جا7.5 = 130 متر تقريبا

أ ب = ج ب / ظا10.25 = 5.5 ع ... حيث ع = ارتفاع التل

فى المثلث ج هـ1 هـ :

ج هـ1 = ع - هـ د = ع - 130

هـ1 هـ = ب د = أ ب - أ د = 5.5 ع - 990

ج هـ1 / هـ1 هـ = ظا15.66 = 0.28

(ع - 130 )/(5.5 ع - 990) = 0.28

ع = 272 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

إذا كانت زاوية ارتفاع منطاد من محطة رصد على سطح الأرض تقع في جنوبه فكانت 35¯45 درجة وفي نفس الوقت كانت زاوية ارتفاعه من محطة ثانية شرق المحطة الأولى وعلى بعد 725 متر منها فكانت 22¯40درجة أوجد ارتفاع المنطاد

تنويه :

ستكون الحسابات الى أقرب رقمين عشريين فقط
الأبعاد بالمتر

الزاوية 45 درجة+ 35 دقيقة = 45.58 درجة
الزاوية 40 درجة + 22 دقيقة = 40.36 درجة

ظا 45.58 = 1.02
ظا 40.36 = 0.85

من الرسم عاليه :

ع = ارتفاع المنطاد عن سطح الأرض
ف = المسافة الأفقية بين المحطة الأولى أ " جنوب المنطاد " والمسقط العمودى للمنطاد على سطح الأرض

ج ب = المسافة الأفقية بين المحطة الثانية ب " شرق المحطة الأولى " والمسقط العمودى للمنطاد على سطح الأرض
= جذر( ف^2 + 725^2 )

ع/ف = ظا45.58 = 1.02 ... ... ... ... (1)

ع/(ب ج) = ظا40.36 = 0.85 ... ... .... (2)

من المعادلتين (1) ، (2)

ع = 1118 متر تقريبا