[أحمد سعد الدين]

متتابعة حسابية حدها الثالث يزيد عن ضعف حدها السادس بمقدار 1
ومربع حدها الثامن يزيد عن حدها الرابع بمقدار 2
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود الذى يعطى أكبر مجموع للمتتابعة
وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د
أ + 2 د = 2 ( أ + 5 د ) + 1
ومنها : أ = - ( 1 + 8 د )

( أ + 7 د )^2 = ( أ + 3 د ) + 2
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
د ( 7 + د ) = 0 ـــــــــــ> د = - 7 ، ومنها : أ = 55

المتتابعة الحسابية :
55 ، 48 ، 41 ، 34 ، 27 ، 20 ، 13 ، 6 ، - 1 ، ...

أكبر مجموع للمتتابعة هو مجموع الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول
نفرض أن ح(ن) = 0
أ + (ن - 1) × د = 55 + (ن - 1) × - 7 ــــ> ن = 8 + 6 /8
إذن :
ح(9) = أ + 8 د = 55 - 8 × 7 = - 1
ح(8) = أ + 7 د = 55 - 7 × 7 = 6
ويكون : عدد الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول = 8
ج(8) = 8 /2 [ 2 أ + 7 د ] = 4 [ 2 × 55 - 7 × 7 ] = 244

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 + ح3 = 72 ، ح2 × ح4 = 324
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع حدودها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^2 = 72 ــــ> أ = 72 / (ر + ر^2)
أ ر × أ ر^3 = أ^2 ر^4 = 324
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة ر
[ 72 / (ر + ر^2) ]^2 × ر^4 = 324
15 ر^4 - 2 ر^3 - ر^2 = 0
ر^2 ( 15 ر^2 - 2 ر - 1 ) = 0
ومنها : ر = 1 /3 ــــ> أ = 162
وتكون المتتابعة : 162 ، 54 ، 18 ، 6 ، 2 ، ...

مجموع الحدود الغير منتهية = أ / (1 - ر) = 162 × 3 /2 = 243

[أحمد سعد الدين]

إذا أُدخِلت عدة أوساط حسابية بين عددين : 50 ، - 20
وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأوليين الى مجموع الوسطين الأخيرين = - 17 : 5
أوجد عدد الأوساط
ثم أوجد ح8

نفرض أن :
الحد الأول = أ ، الأساس = د
عدد الأوساط الحسابية = ن
فيكون عدد حدود المتتابعة الحسابية = ن + 2
الحد الأول = أ = 50
الحد الأخير = ح(ن + 2) = 50 + (ن + 1) د = - 20 ........ (1)
الوسطين الأوليين هما :
ح2 = 50 + د ، ح3 = 50 + 2 د
الوسطين الأخيرين هما :
ح(ن) = 50 + (ن - 1) د ، ح(ن + 1) = 50 + ن د

[ 50 + د + 50 + 2 د ] / [ 50 + (ن - 1) د + 50 + ن د ] = - 17 /5
[ 100 + 3 د ] / [ 100 + (2 ن - 1) د ] = - 17 /5 ...... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2) جبريا ، ينتج أن :
ن = عدد الأوساط الحسابية = 13
د = - 5

وتكون الأوساط : 45 ، 40 ، ...... ، - 10 ، - 15

والمتتابعة هى :
50 ، 45 ، 40 ، 35 ، 30 ، 25 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5 ، 0 ، - 5 ، - 10 ، - 15 ، - 20

الحد الثامن فى المتتابعة = أ + 7 د = 50 + 7 × - 5 = 50 - 35 = 15

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع التسعة حدود الأولى منها = 73 × مجموع الثلاثة حدود الأولى منها
الوسط الحسابى بين حديها الثانى والثالث = 15
أوجد المتتابعة ؟

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية ح(ن) = أ ، الأساس = د
( أ + د ) + ( أ + 2 د ) = 2 × 15
أ = 15 - 3 د /2 .................................. (1)
ج9 = (9 /2)[ 2 أ + 8 د ] = 9 × ( أ + 4 د )
بالتعويض عن قيمة أ من (1)
ج9 = 9 × [ 15 + 5 د /2 ] ......................... (2)
ج3 = (3 /2)[ 2 أ + 2 د ] = 3 × ( أ + د )
بالتعويض عن قيمة أ من (1)
ج3 = 3 × [ 15 - د /2 ] ........................... (3)

9 × [ 15 + 5 د /2 ] = 73 × 3 × [ 15 - د /2 ]
ومنها :
د = 1050 /44 = 525 /22 ........................... (4)
أ = 15 - 3 × 525 /22 = - 915 /44 ................. (5)

المتتابعة هى : - 915 /44 ، 135 /44 ، 1185 /44 ، ....

للتحقق :
الوسط الحسابى بين ح2 ، ح3 = 1/2 × ( 2 أ + 3 د )
= 1/2 × ( 2 × - 915 /44 + 3 × 525 /22 ) = 1/2 × 660/22 = 15

ج9 = (9 /2)[ 2 أ + 8 د ] = (9/2)[ 2 × - 915 /44 + 8 × 525 /22 ] = 29565 /44
ج3 = (3 /2)[ 2 أ + 2 د ] = (3/2) [ 2 × - 915 /44 + 2 × 525 /22 ] = 405 /44
ج9 / ج3 = (29565 /44) / (405 /44) = 73

[أحمد سعد الدين]

كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الهندسية : 1 ، 2 ، 4 ، ....
ابتداء من الحد الأول حتى يكون مجموع هذه الحدود = 1023

ج ن = أ [ ر^ن - 1 ]/[ ر - 1 ] = [ 2^ن - 1 ] = 1023
2^ن = 1024 = 2^10
ن = 10

[أحمد سعد الدين]

متتابعة حسابية حدها الأول = 12 ، الحد الأخير = - 26 ، مجموع حدودها = - 140
أوجد المتتابعة ؟

مجموع المتتابعة = ن/2 × ( الحد الأول + الحد الأخير ) = ن/2 × - 14 = - 140
ن = 20 حدا

الحد الأول = أ = 12
الحد الأخير = أ + (ن - 1) د = 12 + 19 د = - 26
ومنها : الأساس = د = - 2

المتتابعة : 12 ، 10 ، 8 ، ..... ، - 26

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية ، فيها ح15 = 64
ح4 ، ح9 ، ح19 تكون متتابعة هندسية
أوجد المتتابعة الحسابية ؟
ثم أوجد مجموع 15 حدا الأولى منها

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + 14 د = 64 ـــــــــــــــــ> أ = 64 - 14 د ...... (1)

(أ + 8 د)^2 = (أ + 3 د)(أ + 18 د)
5 د ( 2 د - أ ) = 0 ـــــــــــــ> أ = 2 د ........... (2)
من (1) ، (2)
أ = 8 ، د = 4

المتتابعة الحسابية : 8 ، 12 ، 16 ، .....

ج15 = 15/2 × [ 2 × 8 + 14 × 4 ] = 540

للتحقق :
ح15 = أ + 14 د = 8 + 14 × 4 = 8 + 56 = 64

ح4 = أ + 3 د = 8 + 3 × 4 = 20
ح9 = أ + 8 د = 8 + 8 × 4 = 40
ح19 = أ + 18 د = 8 + 18 × 4 = 80
ح4 × ح19 = 20 × 80 = 1600 = (40)^2 = (ح9)^2