أسئلة اولمبياد جميلة،،،

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ،،،

طبعا من فترة وضعنا للأسئلة بمنتدى النسبية اشتكى البعض من صعوبتها ولذلك اليوم هناك أسئلة
لا اقول ألمبيادية وانما أفكار بسيطة لتمرين الاذهان وتعويدها على ما هو أصعب وأصعب بعد ذلك ،،

طبعا ليست قوية كثيرا وانما ليتاح فرصة أكبر للحل للجميع ،،،

1- اوجد قيمة المقدار :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \sqrt{(1000)(1001)(1002)(1003)+1}

بدون الحاسبة وعن طريق بيان كامل خطوات الحل ...

2- أوجد قيمة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

طبعا بدون الحاسبة وببيان كامل خطوات الحل ،،

3- ليكن f تطبيق من مجموعة الأعداد الصحيحة لنفسها http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi f:Z\rightarrow Z
بحيث :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi f(x)-xf(-x)-x=2000 \ \forall x\in Z

أوجد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi f(1)

4- هذا السؤال جميل وأعجبني جدا ، يحتاج لاستخدام مفاهيم بسيطة عن نظرية العدد ،

أوجد عدد الاعداد الصحيحة n التي تجعل المقدار n+1 يقسم المقدار 2003+n

5- وكذلك هذا السؤال جميل ومن نظرية العدد طبعا ،،،

لنفرض أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi k عدد زوجي ، وأن هناك الاعداد الفردية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi n_1,n_2,...,n_k

فهل يمكن التعبير عن العدد 1 كمجموع لمقلوبات الاعداد الفردية التي عددها k

ولتوضيح الامر ناخذ الحالة التي فيها k=2

فيصبح المطلوب هل يمكن التعبير عن العدد 1 بدلالة مجموع مقلوبي n1 و n2 ?

طبعا المطلوب اثبات الحالة العامة سواء بالنفي او الايجاب ،،،

تمنياتي لكم بالتوفيق ،،،

[مهند الزهراني]

توضيح للسؤال الاخير،،

يعني أقصد هل يمكن التعبير عن العدد 1 بالصورة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=1

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi k عدد زوجي ،

[زَينَب..~]

حل السؤال الاول
عبارة عن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{1000(1000+1)(1000+2)(1000+3)+1}
وبأخذ عامل مشترك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{1000(1+1)(1+2)(1+3)+1}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{1000(2)(3)(4)+1}\Rightarrow&space;\sqrt{ 24000+1}\Rightarrow&space;\sqrt{24001}

:a_plain111:والباقي عليك ...
شكرا على الأسئلة الحلوة ..
لكن الوقت ضيق...
تسلمـ أخوي ..

[زَينَب..~]

السُؤالْ الثاَنيِ
تُوجَد فكِرَة تقلِيدية لِحَلِه
وهي عَلاقَةََ أبو كاَمل المَصْرَي...
صَحِيح بتتعَقَد الأمُور لكَن تَضْبط
thanks again
greetings,,,

[مهند الزهراني]

أهلا بك اخت زينب ،،،

للأسف حل السؤال الاول خاطئ ، لأن العامل المشترك يؤخذ من كامل القوس من الحدين وليس من حد واحد ، وكذلك يضرب في المعامل العددي الخارجي ، وللأسف فكرة الحل ليست كذلك ، أتمنى تعيدي التفكير فيها ،،،

السؤال الثاني لاحظي ان الجذر تكعيبي وليس تربيعي وعلاقة ابو كامل تعتمد على اكمال المربع هنا مكعب وليس مربع ،

أتمنى تعيدي النظر في الاسئلة مجددا ،،

وأشكرك على المحاولة ،،،

[زَينَب..~]

أَيوـأآ وَالله لمَ ألحَظ هاَلشئ أبَدا ..
أُكرر آسَفِي أَستاَذِي ....~
بإذْن الله لِي عَودَة
إنْ لمَ يَسبِقنِي أَحدَ بِحَلِهَا ..
شُكرَا لك ....~

[مهند الزهراني]

أَيوـأآ وَالله لمَ ألحَظ هاَلشئ أبَدا ..
أُكرر آسَفِي أَستاَذِي ....~
بإذْن الله لِي عَودَة
إنْ لمَ يَسبِقنِي أَحدَ بِحَلِهَا ..
شُكرَا لك ....~

العفو ، وربي يوفقك لحلها لاني طفشت وأنا حاطها بالمنتدى وما جا جواب !!

[زَينَب..~]

العفو ، وربي يوفقك لحلها لاني طفشت وأنا حاطها بالمنتدى وما جا جواب !!

لاتسْتعْجِل أخي بِحلْهاَ ..
ليَسَتْ العُقُولْ وتفكْيرُهَا على وَتِيرَة وَاحِدَة
أداَمَك الله فَخْرا لكُلْ أحْبَاْبَك وييَسَرَ أمُورْك ..
ولمّا تَطفَش
نَزِّل اجَابَات لكم سُؤَال :D
الله يسْعد أحوَالًَك ...
رَحْ أَفكِر فِيها واشْغِلْ اجازَة هالأسبُوع ...:a_plain111:

[مهند الزهراني]

لاتسْتعْجِل أخي بِحلْهاَ ..
ليَسَتْ العُقُولْ وتفكْيرُهَا على وَتِيرَة وَاحِدَة
أداَمَك الله فَخْرا لكُلْ أحْبَاْبَك وييَسَرَ أمُورْك ..
ولمّا تَطفَش
نَزِّل اجَابَات لكم سُؤَال :D
الله يسْعد أحوَالًَك ...
رَحْ أَفكِر فِيها واشْغِلْ اجازَة هالأسبُوع ...:a_plain111:

فعلا كلامك عين العقل ،،

وعشان أبدد هالطفش غدا باذن الله سأضع اجابات الاسئلة بدأ من السؤال الأخير كونه الاصعب !!!

وما راح احرق عليكم باقي الاسئلة لانها سهلة وجميلة بنفس الوقت ،،

ولعلمك أخت زينب هناك علاقة عامة للسؤال الاول يمكن بها حل أي سؤال على نفس الشكل أترك لك الفرصة لاكتشافها وتعميمها ،،،

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ،،،

حل السؤال الأخير ،،،

لاثبات صحة ذلك من عدمه نفرض أنه يمكننا كتابة 1 بالصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=1

بحيث k عدد زوجي ، والهدف من هذا الفرض الوصول الى علاقة معلومة الصحة لتكون صحيحة او الوصول الى تناقض يبين خطأ العلاقة ،،،

الان يبقي عدة عمليات جبرية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=1

بالضرب في طرفي العلاقة السابقة بسطا ومقاما في :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi n_1n_2n_3...n_k

تصبح العلاقة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi n_2n_3...n_k+n_1n_3...n_k+...+n_1n_2...n_{k-1}=n_1n_2...n_k

يجب ان نلاحظ شيئين الآن :

1- الطرف الايمن عبارة عن ضرب اعداد فردية اذا هو فردي (1)

2- كل حد من حدود الطرف الايسر هو فردي لكن نلاحظ ان عدد الحدود زوجي ، اذا العدد زوجي لأن مجموع أعداد فردية عددها زوجي عدد زوجي (2)

نلاحظ أن هناك تناقضا جليا يظهر حيث ان الفقرة (1) تقول بانه فردي والثانية تقول بانه زوجي ،

ومنه ينتج ان العلاقة غير صحيحة لوجود هذا الخطأ المستحيل ،،

اذا لا يمكن التعبير عن العدد 1 بدلالة مقلوبات اعداد فردية عددها زوجي !!!

كما لاحظتم البرهان السابق لا يحتاج لحسابات معقدة ونظريات صعبة انما مفاهيم قد يعرفها الكل عن نظرية الاعداد ،،،

اتمنى بعد هذا السؤال ان تبحروا في مسائل هذه النظرية العجيبة !!!

[مهند الزهراني]

4- هذا السؤال جميل وأعجبني جدا ، يحتاج لاستخدام مفاهيم بسيطة عن نظرية العدد ،

أوجد عدد الاعداد الصحيحة n التي تجعل المقدار n+1 يقسم المقدار 2003+n



من السؤال المطلوب هو كالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \frac{n+2003}{n+1}=m \ ,m,n\in Z

من نظرية العدد نعلم انه

" اذا كان عدد يقسم مجموع عددين وفي الوقت نفسه يقسم احد العددين فهو يقسم الاخر "

اذا الان نحاول أن نجعل اعد العوامل في البسط يقسم المقام ثم نقوم بتطبيق النظرية السابقة ،

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \frac{n+2003}{n+1}=m \Rightarrow \frac{(n+1)+2002}{(n+1)}

يبدو واضحا جدا الان ان n+1 تقسم 2002 ،، ومنه نقوم بتحليل العدد 2002 لنصل الى نتيجة ،،

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi 2002=2\times 7\times 11\times 13

بكل بساطة نجد أن هناك طريقتين لاختيار الاس بين صفر و 1

اذا من مبدأ العد نجد أن عدد الطرق هو :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi 2^4=16

طريقة ممكنة " لاحظ ان عدد طرق اختيار n+1 هو نفسه عدد طرق اختيار n "

[الأستاذ المحاضر]

اخ مهند بارك الله فيك على مشاركاتك الرائعة في منتدى الرياضيات ، وبراك الله في نشاطك ، سألتحق بك إن شاء الله فور بداية العطلة الصيفية

[مهند الزهراني]

اخ مهند بارك الله فيك على مشاركاتك الرائعة في منتدى الرياضيات ، وبراك الله في نشاطك ، سألتحق بك إن شاء الله فور بداية العطلة الصيفية

وان شاء الله تاتي باكرا !!!

فقد سئمت الجلوس وحيدا هنا !!!

وان شاء الله اليومين القادمة سأضع مراجع كثيرة للتأهيل للاولمبياد ،،،

طبعا وبهذه المناسبة بودي أن أقول ان مواضيعي خلال الفترة القادمة لن تصل الى اعلى من التفاضل والتكامل بل وغالبا ادنى منها لأن رياضيات الاولمبياد أصعب باشواط عديدة من التحليل !!!

ولو كنتم تريدون ان أضع أسئلة أولمبياد بمعنى الكلمة لوضعتها لكن خوفا من النفور من الموضوع !!

[زَينَب..~]

وان شاء الله تاتي باكرا !!!

فقد سئمت الجلوس وحيدا هنا !!!

وان شاء الله اليومين القادمة سأضع مراجع كثيرة للتأهيل للاولمبياد ،،،

طبعا وبهذه المناسبة بودي أن أقول ان مواضيعي خلال الفترة القادمة لن تصل الى اعلى من التفاضل والتكامل بل وغالبا ادنى منها لأن رياضيات الاولمبياد أصعب باشواط عديدة من التحليل !!!

ولو كنتم تريدون ان أضع أسئلة أولمبياد بمعنى الكلمة لوضعتها لكن خوفا من النفور من الموضوع !!


تكفَى لاتحِط
ترى هذَي وجَايبَة الشِيب
أش ناَوي علِينا ...
بس والله الأسئِلة المَطرُوحَة جمِيلَة والقَادِم مِنك أَجمَل أَكِيد ...
وللمَعلُومِية ..
الأسئلة الأولَمبِيادِية أَراها دائما سهله لكن هَذِه عَالِقة معنا ...مَدري وش السر !!!
عمُوُمَا ..
أنا أعَرف الطريقة العاَمة لِلسُؤال الأَول ...
وهي طَريقَة ايجَاد الجَذر التَربيعِي حَتى لَو كَان العَدد عَشْرِي
إِن صَحَ التعبير وكَان هَذا مَاتقصِده مُعلِمنَا مُهَنَد ...
بَعدَ عَنَاءٍ وَتَكَبُد ...
وَجَدتُ الحًل أَنَه ...
1000.5
وبالآلة خرجلي
31717
والطريقة اللي أبتعتها ....
هي ان العدد رح يكون مابين المليار واقل من مافوق مليار
بحيث أن س+ص=الجذر بالأعلى ...:D
وبمفكوك المربع ....
وعندما ص=1 <<<أعتقد انك تعلم خطوات الحل ...:D
رح تنتج معادله من الدرجة الثانية تُحل بالقانون العام كما هو معلوم ...
وتنتج قيميتين لـ (س)
أحداهما مقبولة موجبة والأخرى سالبة مرفوضة لأن العدد >من المليون تحت الجذر التربيعي ...
إن كان حلي خاطئ ..
أَرجُو أِدرَاج الحَل لأني سَئِمتُ وانا أَنظُر للمَسَألَة ..
التِي شُغِفْتُ بِرؤَيةِ حَلٍ لَهَا ...

[مهند الزهراني]

تكفَى لاتحِط
ترى هذَي وجَايبَة الشِيب
أش ناَوي علِينا ...
بس والله الأسئِلة المَطرُوحَة جمِيلَة والقَادِم مِنك أَجمَل أَكِيد ...
وللمَعلُومِية ..
الأسئلة الأولَمبِيادِية أَراها دائما سهله لكن هَذِه عَالِقة معنا ...مَدري وش السر !!!
عمُوُمَا ..
أنا أعَرف الطريقة العاَمة لِلسُؤال الأَول ...
وهي طَريقَة ايجَاد الجَذر التَربيعِي حَتى لَو كَان العَدد عَشْرِي
إِن صَحَ التعبير وكَان هَذا مَاتقصِده مُعلِمنَا مُهَنَد ...
بَعدَ عَنَاءٍ وَتَكَبُد ...
وَجَدتُ الحًل أَنَه ...
1000.5
وبالآلة خرجلي
31717
والطريقة اللي أبتعتها ....
هي ان العدد رح يكون مابين المليار واقل من مافوق مليار
بحيث أن س+ص=الجذر بالأعلى ...:D
وبمفكوك المربع ....
وعندما ص=1 <<<أعتقد انك تعلم خطوات الحل ...:D
رح تنتج معادله من الدرجة الثانية تُحل بالقانون العام كما هو معلوم ...
وتنتج قيميتين لـ (س)
أحداهما مقبولة موجبة والأخرى سالبة مرفوضة لأن العدد >من المليون تحت الجذر التربيعي ...
إن كان حلي خاطئ ..
أَرجُو أِدرَاج الحَل لأني سَئِمتُ وانا أَنظُر للمَسَألَة ..
التِي شُغِفْتُ بِرؤَيةِ حَلٍ لَهَا ...

مممممممـ ،

أعتقد انه يجب مراجعة الحل ،،،

أنا اعطيك الطريقة وانتي شوفيها واتاكدي ،،،

للسؤال الاول يمكن وضع نظرية عامة هي :

" حاصل ضرب اي اربعة اعداد متتالية مضافا لها الواحد تمثل مربعا كاملا "

البرهان :

لنفرض ان العدد الاول هو n اذا باقي الاعداد هي n+1, n+2, n+3

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \Rightarrow n(n+3)(n+2)(n+1)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi put \ x=n^2+3n

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \Rightarrow (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=x(x+2)+1=x^2+2x+1=(x+1)^2=(n^ 2+3n+1)^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \therefore \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\sqrt{(n^2+3n+1)^2}=n^2+ 3n+1

وعوضي بقيمة n وراح يطلع الجذر بالضبط = 1003001

أكيد كرهتي الجذور من بعد هالسؤال :D

أتمنى يكون الجواب اعجبك ، واشكرك جدا على تفاعلك مع موضوعي اللي كان ميت سابقا
بتهمة انه رياضي جاف:(

والتتمة بعد صلاة الجمعة ورانا صلاة :D

في امان الله ،،،

[زَينَب..~]

مممممممـ ،
أكيد كرهتي الجذور من بعد هالسؤال :D

أتمنى يكون الجواب اعجبك ، واشكرك جدا على تفاعلك مع موضوعي اللي كان ميت سابقا
بتهمة انه رياضي جاف:(

والتتمة بعد صلاة الجمعة ورانا صلاة :D

في امان الله ،،،


بصرآحة ماخطرت على بالي بالمرررة ...
جميلة جدا جدا^6....
ورآئــعة
رآئــعة جدا الطريقة ....
نقلتها في أحدى وريقاتي ...
لعلي أستفيد منها مستقبلا ....
:a_plain111:
وآصل أخي ...
وتقبل الله صالح أعمالك ..
مباركة جمعتك
...دمت بحفظ الرحمن ..

[زَينَب..~]

للسؤال الاول يمكن وضع نظرية عامة هي :[/COLOR][/SIZE][/FONT]

" حاصل ضرب اي اربعة اعداد متتالية مضافا لها الواحد تمثل مربعا كاملا "

البرهان :

لنفرض ان العدد الاول هو n اذا باقي الاعداد هي n+1, n+2, n+3

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \Rightarrow n(n+3)(n+2)(n+1)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi put \ x=n^2+3n

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \Rightarrow (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=x(x+2)+1=x^2+2x+1=(x+1)^2=(n^ 2+3n+1)^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \therefore \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\sqrt{(n^2+3n+1)^2}=n^2+ 3n+1
[/COLOR][/SIZE][/FONT]

ولكــن مهلا...
هل بالفعل هذه النظرية العامة موجودة فعلا بالرياضيات كالبقية .....
أم أنها من أستنتاجك...
عذرا
لعل هذا ينم عن قلة سعة تعمقي بالرياضيات
منكمـ.. نستفيد أخي...

[مهند الزهراني]

أهلا بك مجددا ،،،

الفكرة جميلة فعلا لكنها ليست لي وقد عملت بنفس هالسؤال ولم اصل الا الى نصف الحل فقط ،،،

اما الحل الكامل فهو من قبل الاستاذ الكبير "طارق الصيعري" ، وهي نظرية مستنتجة وليست موجودة بالمراجع ،،،

تمنياتي لك بالتوفيق ،،

أهم شي لاتنسي بقية الاسئلة ،،،

بالتوفيق ،،،

[زَينَب..~]

2- أوجد قيمة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

طبعا بدون الحاسبة وببيان كامل خطوات الحل ،،
،،،

طيب
هذا السؤال لو نلاحظ
رح يكون الفرق بين مكعبين ....

اذن
س^3=5+2جذر13+5+2جذر13+1/3×125+8في الجذر الثالث للعدد13....

[مهند الزهراني]

طيب
هذا السؤال لو نلاحظ
رح يكون الفرق بين مكعبين ....

اذن
س^3=5+2جذر13+5+2جذر13+1/3×125+8في الجذر الثالث للعدد13....

أهلا بك مجددا ،،

تفكيرك ممتاز كبداية ، وللمساعدة افرضي احد الحدين بمتغير والثاني بمتغير اخر ، واستفيدي من متطابقة مجموع مكعبين ، وان لم تكوني تعرفيها فهناك موضوع لي هنا حول المتطابقات الاساسية ،

يعجبني اجتهادك ومثابرتك ، أشكرك مجددا ،،،

[زَينَب..~]

أهلا بك مجددا ،،

تفكيرك ممتاز كبداية ، وللمساعدة افرضي احد الحدين بمتغير والثاني بمتغير اخر ، واستفيدي من متطابقة مجموع مكعبين ، وان لم تكوني تعرفيها فهناك موضوع لي هنا حول المتطابقات الاساسية ،

يعجبني اجتهادك ومثابرتك ، أشكرك مجددا ،،،

شكرا لك على الأضافة الجميلة
لاتقلق أعلم الحل
وان كان ببعض الأخطاء
حليت بنفس هالطريقة لكن للمربع وليس للمكعب ..
وبدأت بها وأتت الرمية سليمة
وأعلمـ المتطابقات جيدا ...
كالآلئ بالنسبة لي في بحر الرياضيات ...
وأنا طالبة بـ الثانوية ..
فلاتُخفى علي ...
سأعود مجددا لحلها ....
لكن الوقت لايسعفني لذلك الآن .....:a_plain111:

[nuha1423]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيكم أيها الرائعون

[مهند الزهراني]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيكم أيها الرائعون

شكرا لك استاذة نهى على المرور والتشجيع ،،،

لحل السؤال الثاني نفترض ما يلي :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}=a \ ,\sqrt[3]{5-2\sqrt{12}}=b

وواضح جدا الان اننا نطلب قيمة a+b مما سبق نستنتج أن :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a^3+b^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}=10

نحن نعلم المتطابقة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

لنغيرها قليلا ونكتبها بالصورة المكافئة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)

الان لنوجد قيمة ab :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi ab=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}\times \sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}=\sqrt[3]{25-62}=\sqrt[3]{-27}=-3

وبنشر القوس الكبير في المتطابقة وبعمليات جبرية بسيطة وبالتعويض بقيمة ab نخلص للمعادلة النهائية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\Rightarrow (a+b)^3+9(a+b)-10=0

وبالتعويض وحل المعادلة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a+b=x \Rightarrow x^3+9x-10=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x+10)=0\Rightarrow a+b=1

وباقي الحلول ترفض حيث انها حلول مركبة مترافقة ،،،

ملاحظة هامة :

لاحظنا في المسائل السابقة انه ليس من الضروري استنتاج قيم المجاهيل كلها لنتمكن من ايجاد المطلوب وانما نكتفي بالحيل الرياضية الجبرية للوصول للمطلوب ،،،