ثلاثة مسائل

[الصادق]

بسم الله الرحمن الرحيم
اللهم صل على محمد وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

1- احسب المجموع التالي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20S=1^p+2^p+3^p+...+n^p

2- برهن ان:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(x+y+z)^n=\sum_{\alpha,\beta,\g amma}\frac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!}x^{\alpha}y^{\ beta}c^{\gamma}
حيث ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha,\;\beta,\;\gamma اعداد صحيحة غير سالبة و تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha+\beta+\gamma=n

3-برهن صحة المتباينة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2%3C%20\f rac{\pi^2}{6}(a_1^2+2^2a_2^2+3^2a_3^2+...+n^2a_n^2 )
حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_1,\;a_2,\;a_3,\;...a_n\in%20\mathbb{R}

[مهند الزهراني]

جااااااااري التفكير فيها ، القانون الاول يستخدم اعداد برنولي وهو موجود لدي لكني لم افهم آلية اشتقاقه ،،

[مهند الزهراني]

النسبة للسؤال الاول وجدت في احدى المذكرات الاولمبية لدي طلبا لاثبات الصيغة المغلقة للمجموعة ووجدت بضع معلومات عنها ،،

لنعرف اعداد برنولي بالصورة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \left ( B \right )^\infty _{n=0}

فتحدد هذه الاعداد بالعلاقة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi B_0=0 \ ,\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_i=0

فيعطى المجموع بالصيغة العامة التالية حسب قيمة k وهي الاس بالمعادلة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi 1^k+2^k+3^k+...+(n-1)^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_i. n^{k+1-i}

هذه المعلومات التي وجدتها حتى الان ،،،

[زَينَب..~]

النسبة للسؤال الاول وجدت في احدى المذكرات الاولمبية لدي طلبا لاثبات الصيغة المغلقة للمجموعة ووجدت بضع معلومات عنها ،،

لنعرف اعداد برنولي بالصورة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \left ( B \right )^\infty _{n=0}

فتحدد هذه الاعداد بالعلاقة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi B_0=0 \ ,\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_i=0

فيعطى المجموع بالصيغة العامة التالية حسب قيمة k وهي الاس بالمعادلة :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi 1^k+2^k+3^k+...+(n-1)^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_i. n^{k+1-i}

هذه المعلومات التي وجدتها حتى الان ،،،


^^
جميــل
ولكـن
أعداد برنولي ’’’’
تؤخذ للمتتابعة الكسرية ,,,
فكما نلاحظ بالمسألة (1)
أنها :)صحيحة بدون كسور
لكن لأأعلمـ,,,
والصادق لم يدلو برأيه ,,,
الأسئلة قوية أستاذ الصادق
سأحاول بالبرهان الأخير ,,,
شكرا لك ,,,:a_plain111:

[مهند الزهراني]

^^
جميــل
ولكـن
أعداد برنولي ’’’’
تؤخذ للمتتابعة الكسرية ,,,
فكما نلاحظ بالمسألة (1)
أنها :)صحيحة بدون كسور
لكن لأأعلمـ,,,
والصادق لم يدلو برأيه ,,,
الأسئلة قوية أستاذ الصادق
سأحاول بالبرهان الأخير ,,,
شكرا لك ,,,:a_plain111:

ما عندك اي مشكلة انها تكون متتابعة كسرية لاني ابي قانون للحساب وليس قيمة المجموع ، نستخرج قيمة المجموع بعد التعويض لايجاد القانون ،،

[زَينَب..~]

3-برهن صحة المتباينة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2%3C%20\f rac{\pi^2}{6}(a_1^2+2^2a_2^2+3^2a_3^2+...+n^2a_n^2 )
حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_1,\;a_2,\;a_3,\;...a_n\in%20\mathbb{R}
^^
بالفعل أستاذ مهند :)
ولكن لم نرى رأي الصادق في ذلك ,,,
محاولة صغيرة لهذا البرهان ,,,
لأي عدد صحيح n :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n}\textrm{c}\ x^{n-k}y^k
وبما أنه حسب المعطى انها Rاي ان z تنتمي لها :)
وبذلك نحصل بعد نشر القوس الاول
هو القوس بالطرف الثاني من المتباينة ,,,
وحين ضربها في مربع العدد (باي)/6
ستكون أكبر :D
المعذرة نسيت
أن zتنتمي الى R
هذا قصدي ويتضح ان الحل خاطئ
سأحاول مجددا ,,,,

[الصادق]

اخي الكريم مهند
معك حق سوف تحتاج الى اعداد برنولي فى حل المسألة و لكن الفكرة هي ان حل المسألة يقود الى اعداد برنولي و ليس العكس

الاخت الكريمة زَينَب..~
قولك ك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n} \textrm{c}\%20x^{n-k}y^k
هو خطوة من الحل. ارجو ان تتابعي لتحصلي على الحل الكامل

[زَينَب..~]

اخي الكريم مهند
معك حق سوف تحتاج الى اعداد برنولي فى حل المسألة و لكن الفكرة هي ان حل المسألة يقود الى اعداد برنولي و ليس العكس

الاخت الكريمة زَينَب..~
قولك ك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n} \textrm{c}\%20x^{n-k}y^k
هو خطوة من الحل. ارجو ان تتابعي لتحصلي على الحل الكامل

;););)أذن,,,أشتقاق..القانون,,,لعله,,يوصل,,لحل,,(1) ,,,بالنسبة(للبرهان3)سأحاول:)

[زَينَب..~]

ينفع أحل السؤال الاخير بهذه المتباينة
متفاوتة Chebyshev
التي تتبع القاعدة :)
http://www.up-king.com/almaciat/mmkaf8izmhww7wgtj65z.png
وبالاستفادة من قانون ذات الحدين ,,,
يمكن التوصل للبرهان
أليس كذلك ,,,؟!
هذه المسألة أرقتني
لازلت أفكر بها ,,,,

[الصادق]

ينفع أحل السؤال الاخير بهذه المتباينة
متفاوتة Chebyshev
التي تتبع القاعدة :)
http://www.up-king.com/almaciat/mmkaf8izmhww7wgtj65z.png
وبالاستفادة من قانون ذات الحدين ,,,
يمكن التوصل للبرهان
أليس كذلك ,,,؟!
هذه المسألة أرقتني
لازلت أفكر بها ,,,,
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الاخت الكريمة زينب
استخدمي متباينة كوشي- شوارز

[مهند الزهراني]

أهلا بك أستاذي ، حليت باستخدام كوشي - شوارتز لين قلت بس ولا وصلت للحل ؟؟

من بداية السؤال وباين انها الصيغة العامة لمتباينة كوشي - شوارتز ،،،

لكن ما عقدني الا باي تربيع على 6 لكن بحثت لين لقيت انها عبارة عن مجموع متسلسلة لانهائية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نص حلي الكامل :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi if \ a_1,a_2,...,a_n \ and \ b_1,b_2,...,b_n \ are \ real \ number \ then:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \left ( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right )^2\leq \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right )\left ( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right )

"متباينة كوشي - شوارتز"
لنطبق متباينة كوشي - شوارتز على مجموعتي الاعداد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_1,2^2a_2,...,n^2a_n

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},...,\frac{1}{n^2}

الان بقي أن نطبق المتباينة مباشرة ونلغي حالة التساوي ، يتساوى الطرفين في المتباينة عندما يوجد عدد حقيقي c بحيثhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_i=cb_i

ولكن بما ان المطلوب في السؤال لا يتضمن حالة التساوي فاننا نستبعد هذه الحالة ، الان نطبق المتباينة مباشرة على مجموعتي الاعداد مباشرة وبالاختصار في الطرف الايسر :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< (\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2})(a_ 1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

وبمعلومية العلاقة :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نعوض فينتج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< \frac{\pi ^2}{6}(a_1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

[زَينَب..~]

أهلا بك أستاذي ، حليت باستخدام كوشي - شوارتز لين قلت بس ولا وصلت للحل ؟؟

من بداية السؤال وباين انها الصيغة العامة لمتباينة كوشي - شوارتز ،،،

لكن ما عقدني الا باي تربيع على 6 لكن بحثت لين لقيت انها عبارة عن مجموع متسلسلة لانهائية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نص حلي الكامل :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi if \ a_1,a_2,...,a_n \ and \ b_1,b_2,...,b_n \ are \ real \ number \ then:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \left ( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right )^2\leq \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right )\left ( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right )

"متباينة كوشي - شوارتز"
لنطبق متباينة كوشي - شوارتز على مجموعتي الاعداد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_1,2^2a_2,...,n^2a_n

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},...,\frac{1}{n^2}

الان بقي أن نطبق المتباينة مباشرة ونلغي حالة التساوي ، يتساوى الطرفين في المتباينة عندما يوجد عدد حقيقي c بحيثhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_i=cb_i

ولكن بما ان المطلوب في السؤال لا يتضمن حالة التساوي فاننا نستبعد هذه الحالة ، الان نطبق المتباينة مباشرة على مجموعتي الاعداد مباشرة وبالاختصار في الطرف الايسر :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< (\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2})(a_ 1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

وبمعلومية العلاقة :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نعوض فينتج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< \frac{\pi ^2}{6}(a_1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

الحل شبه صحيح تنقصه بعض البهارات:Dأن شاء المولى سأضع الحل مساءاً:)

[مهند الزهراني]

صحيح هناك أخطاء في تطبيق المتباينة ،،،

الصحيح هو ان نطبق المتباينة على مجموعتي الاعداد

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_1,2a_2,...,na_n

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi 1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n}

واعتذر عن الاخطاء ، ربما بسبب الاستعجال ،،،

[زَينَب..~]

صحيح هناك أخطاء في تطبيق المتباينة ،،،

الصحيح هو ان نطبق المتباينة على مجموعتي الاعداد

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_1,2a_2,...,na_n

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi 1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n}

واعتذر عن الاخطاء ، ربما بسبب الاستعجال ،،،

لاحظ أنك غيرت بتطبيقها على المجموعة وهو الصحيح ولكن هناك خطوات ناقصة قليلا,,,
وبسيطة
جدا:)أضف قليلا من المحسنات الرياضية:):)

[مهند الزهراني]

هذا هو الحل المتوفر لدي ، وأعتقد انها لاتحتاج لاكثر من ذلك لانها مباشرة من الصيغة العامة للمتباينة ولا تحتاج لاكثر من ذلك ،،،

[الصادق]

أهلا بك أستاذي ، حليت باستخدام كوشي - شوارتز لين قلت بس ولا وصلت للحل ؟؟

من بداية السؤال وباين انها الصيغة العامة لمتباينة كوشي - شوارتز ،،،

لكن ما عقدني الا باي تربيع على 6 لكن بحثت لين لقيت انها عبارة عن مجموع متسلسلة لانهائية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نص حلي الكامل :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi if \ a_1,a_2,...,a_n \ and \ b_1,b_2,...,b_n \ are \ real \ number \ then:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \left ( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right )^2\leq \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right )\left ( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right )

"متباينة كوشي - شوارتز"
لنطبق متباينة كوشي - شوارتز على مجموعتي الاعداد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_1,2^2a_2,...,n^2a_n

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},...,\frac{1}{n^2}

الان بقي أن نطبق المتباينة مباشرة ونلغي حالة التساوي ، يتساوى الطرفين في المتباينة عندما يوجد عدد حقيقي c بحيثhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi a_i=cb_i

ولكن بما ان المطلوب في السؤال لا يتضمن حالة التساوي فاننا نستبعد هذه الحالة ، الان نطبق المتباينة مباشرة على مجموعتي الاعداد مباشرة وبالاختصار في الطرف الايسر :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< (\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2})(a_ 1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

وبمعلومية العلاقة :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

نعوض فينتج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a_1+a_2+...+a_n)^2< \frac{\pi ^2}{6}(a_1+2^2a_2^2+...+n^2a_n^2)

رائع جداً
http://www.smileyshut.com/smileys/new/MSN-Emoticons/MSN-Emoticon-applause-004.gif (http://www.smileyshut.com/Smileys/Smiley-Huts-Free-MSN-Emoticons-Smileys.html)

[زَينَب..~]

لكن ما عقدني الا باي تربيع على 6 لكن بحثت لين لقيت انها عبارة عن مجموع متسلسلة لانهائية :[/COLOR][/SIZE][/FONT]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\fra c{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

جميلة للتو انتبهت لهذه ,,,
بالفعل لم ألحظ انك كتبتها ,,,

:a_plain111:
بوركت ,,,
وعاود محاولاتك لحل المسألة الاولى ,,,

[زَينَب..~]

[SIZE="6"]

1- احسب المجموع التالي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20S=1^p+2^p+3^p+...+n^p
]

http://www.up-king.com/almaciat/wx9pwr1n7une0kvxq5jl.png