ثلاثة مسائل

الصادق · #1 23-04-2010, 05:49

بسم الله الرحمن الرحيم
اللهم صل على محمد وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

1- احسب المجموع التالي:
$S=1^p+2^p+3^p+...+n^p$

2- برهن ان:
$(x+y+z)^n=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!}x^{\alpha}y^{\beta}c^{\gamma}$
حيث ان $\alpha,\;\beta,\;\gamma$ اعداد صحيحة غير سالبة و تحقق $\alpha+\beta+\gamma=n$

3-برهن صحة المتباينة التالية:
$(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2< \frac{\pi^2}{6}(a_1^2+2^2a_2^2+3^2a_3^2+...+n^2a_n^2)$
حيث $a_1,\;a_2,\;a_3,\;...a_n\in \mathbb{R}$

مهند الزهراني · #2 23-04-2010, 10:34

جااااااااري التفكير فيها ، القانون الاول يستخدم اعداد برنولي وهو موجود لدي لكني لم افهم آلية اشتقاقه ،،

مهند الزهراني · #3 23-04-2010, 20:53

النسبة للسؤال الاول وجدت في احدى المذكرات الاولمبية لدي طلبا لاثبات الصيغة المغلقة للمجموعة ووجدت بضع معلومات عنها ،،

لنعرف اعداد برنولي بالصورة التالية :

$\200dpi \left ( B \right )^\infty _{n=0}$

فتحدد هذه الاعداد بالعلاقة :

$\200dpi B_0=0 \ ,\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_i=0$

فيعطى المجموع بالصيغة العامة التالية حسب قيمة k وهي الاس بالمعادلة :

$\200dpi 1^k+2^k+3^k+...+(n-1)^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_i.n^{k+1-i}$

هذه المعلومات التي وجدتها حتى الان ،،،

زَينَب..~ · #4 23-04-2010, 21:23

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

النسبة للسؤال الاول وجدت في احدى المذكرات الاولمبية لدي طلبا لاثبات الصيغة المغلقة للمجموعة ووجدت بضع معلومات عنها ،،

لنعرف اعداد برنولي بالصورة التالية :

$\200dpi \left ( B \right )^\infty _{n=0}$

فتحدد هذه الاعداد بالعلاقة :

$\200dpi B_0=0 \ ,\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_i=0$

فيعطى المجموع بالصيغة العامة التالية حسب قيمة k وهي الاس بالمعادلة :

$\200dpi 1^k+2^k+3^k+...+(n-1)^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_i.n^{k+1-i}$

هذه المعلومات التي وجدتها حتى الان ،،،

^^
جميــل
ولكـن
أعداد برنولي ’’’’
تؤخذ للمتتابعة الكسرية ,,,
فكما نلاحظ بالمسألة (1)
أنها صحيحة بدون كسور
لكن لأأعلمـ,,,
والصادق لم يدلو برأيه ,,,
الأسئلة قوية أستاذ الصادق
سأحاول بالبرهان الأخير ,,,
شكرا لك ,,,:a_plain111:

مهند الزهراني · #5 23-04-2010, 22:52

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زَينَب..~

^^
جميــل
ولكـن
أعداد برنولي ’’’’
تؤخذ للمتتابعة الكسرية ,,,
فكما نلاحظ بالمسألة (1)
أنها صحيحة بدون كسور
لكن لأأعلمـ,,,
والصادق لم يدلو برأيه ,,,
الأسئلة قوية أستاذ الصادق
سأحاول بالبرهان الأخير ,,,
شكرا لك ,,,:a_plain111:

ما عندك اي مشكلة انها تكون متتابعة كسرية لاني ابي قانون للحساب وليس قيمة المجموع ، نستخرج قيمة المجموع بعد التعويض لايجاد القانون ،،

زَينَب..~ · #6 23-04-2010, 23:06

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

3-برهن صحة المتباينة التالية:
$(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2< \frac{\pi^2}{6}(a_1^2+2^2a_2^2+3^2a_3^2+...+n^2a_n^2)$
حيث $a_1,\;a_2,\;a_3,\;...a_n\in \mathbb{R}$

^^
بالفعل أستاذ مهند
ولكن لم نرى رأي الصادق في ذلك ,,,
محاولة صغيرة لهذا البرهان ,,,
لأي عدد صحيح n :

$\150dpi (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n}\textrm{c}\ x^{n-k}y^k$
وبما أنه حسب المعطى انها Rاي ان z تنتمي لها
وبذلك نحصل بعد نشر القوس الاول
هو القوس بالطرف الثاني من المتباينة ,,,
وحين ضربها في مربع العدد (باي)/6
ستكون أكبر
المعذرة نسيت
أن zتنتمي الى R
هذا قصدي ويتضح ان الحل خاطئ
سأحاول مجددا ,,,,

الصادق · #7 24-04-2010, 16:24

اخي الكريم مهند
معك حق سوف تحتاج الى اعداد برنولي فى حل المسألة و لكن الفكرة هي ان حل المسألة يقود الى اعداد برنولي و ليس العكس

الاخت الكريمة زَينَب..~
قولك ك
$\150dpi (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n}\textrm{c}\ x^{n-k}y^k$
هو خطوة من الحل. ارجو ان تتابعي لتحصلي على الحل الكامل

زَينَب..~ · #8 24-04-2010, 17:24

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اخي الكريم مهند
معك حق سوف تحتاج الى اعداد برنولي فى حل المسألة و لكن الفكرة هي ان حل المسألة يقود الى اعداد برنولي و ليس العكس

الاخت الكريمة زَينَب..~
قولك ك
$\150dpi (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}_{k}^{n}\textrm{c}\ x^{n-k}y^k$
هو خطوة من الحل. ارجو ان تتابعي لتحصلي على الحل الكامل

[OVERLINE]أذن,,,أشتقاق..القانون,,,لعله,,يوصل,,لحل,,(1) ,,,بالنسبة(للبرهان3)سأحاول[/OVERLINE]

زَينَب..~ · #9 25-04-2010, 17:44

ينفع أحل السؤال الاخير بهذه المتباينة
متفاوتة Chebyshev
التي تتبع القاعدة

وبالاستفادة من قانون ذات الحدين ,,,
يمكن التوصل للبرهان
أليس كذلك ,,,؟!
هذه المسألة أرقتني
لازلت أفكر بها ,,,,

الصادق · #10 01-05-2010, 00:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زَينَب..~

ينفع أحل السؤال الاخير بهذه المتباينة
متفاوتة Chebyshev
التي تتبع القاعدة

وبالاستفادة من قانون ذات الحدين ,,,
يمكن التوصل للبرهان
أليس كذلك ,,,؟!
هذه المسألة أرقتني
لازلت أفكر بها ,,,,

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الاخت الكريمة زينب
استخدمي متباينة كوشي- شوارز

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !