مساعدة رياضية

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم اخواني
اتمنى ان تفيدوني باهم قوانين ( المجموع ∑ ) المستخدمة في الرياضيات
ولكم جزيل الشكر

[مهند الزهراني]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ،،،

هل تقصد خواص رمز المجموع أم المجاميع الشهيرة ؟

وجزيت خيرا ،،،

[لا اعرف شيئ]

انا قصدت المجاميع الشهيرة

وستكون فائدة الموضوع اكبر ان قدمت لنا خواص المجاميع

شكرا سلفا اخي مهند

[مهند الزهراني]

بسيطة أخي ،،

افرض أن لديك الدالتين

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(x),g(x)

وهما اي دالتين تفرضهما اذن فالحقائق التالية صحيحة :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(1)&space;\&space;\sum_{x=n}^{x=k}(f(x)\pm&space;g (x))=\sum_{x=n}^{x=k}f(x)\pm&space;\sum_{x=n}^{x=k}g(x)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(2)&space;\&space;\sum_{x=n}^{x=k+1}f(x)=&space;\s um_{x=n}^{x=k}f(x)+f(k+1)


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{x=1}^{n}c=nc&space;\&space;(c\in&space;\math bb{R})


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(4)&space;\&space;\sum_{x=n}^{x=k}cf(x)=c\su m_{x=n}^{x=k}x&space;\&space;(c\in&space;\mathbb{R})

" بعض المجاميع الشهيرة "

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{x=1}^{x=n}x=&space;\frac{n(n+1)} {2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{x=1}^{x=n}x^2=&space;\frac{n(n+1 )(2n+1)}{6}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{x=1}^{x=n}x^3=&space;\left&space;(\fra c{n(n+1)}{2}&space;\right&space;)^2

ومن القوانين السابقة يمكنك استنتاج عدد كبير من صيغ المجاميع المغلقة او استخراج قيمها باستخدام فكرة معروفة تدعى بالجمع التلسكوبي وهي ذات اهمية عالية جدا ،،

[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .....
أود أن أشكر الأخ "لا أعرف شئ" على طرحه لهذا التساؤل والذي لاحظت أنه يمثل مشكلة كبيرة لمن هم يدرسون الرياضيات حديثا ً حيث يقابلون صعوبة فى التعامل مع المعادلات التي يوجد بها المجموع ∑ وخاصة المجاميع اللانهائية .
وإضافة لمشاركة أخي مهند القيمة ، أود أن أضيف بعض الخواص الهامة جدا ً والتى قد نحتاجها فى المعادلات التى تتعامل مع المجموع ∑ :
1 - الخاصية الأولى وهى تتعامل مع ضرب مجموعين :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum^k_{i=1}a_i \times \sum^m_{j=1}b_j= \sum^k_{i=1}\left(\sum^m_{j=1}a_ib_j\right)
2 - الخاصية الثانية و هي تتعامل مع المجموع المزدوج وتفيد بأن عملية التبديل ممكنة فى المجموع المزودج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum^k_{i=1}\sum^m_{j=1}a_{ij}=\sum^m_{j =1}\sum^k_{i=1}a_{ij}
3- الخاصية الثالثة (وهى فكرة الجمع التلسكوبي التي أشار إليها أخي مهند) وهي خاصية مهمة جدا ً وتفيد فى تبسيط عمليات المجموع وهي تفيد بأن مجموع الفرق يعتمد فقط على الحد الأول من المجموع و الحد الأخير منه فقط ولا تعتمد على الحدود الوسطي بينهما :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum^k_{i=1}(a_{i+1}-a_i)=a_{k+1}-a_1
4 - الخاصية الرابعة وهي خاصية ذات أهمية كبرى فى عالم المجاميع اللانهائية وهي تدعى مضروب كوشي Cauchy Product (وربما نستخدم هذه الخاصية قريبا ً) :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum^{\infty}_{i=0}a_i \times \sum^{\infty}_{i=0}b_i = \sum^{\infty}_{i=0}\sum^{i}_{k=0}a_kb_{i-k}

[مهند الزهراني]

جميل جدا استاذي ، وبودي لو يتم طرح موضوع خاص حول الجمع التلسكوبي والضرب التلسكوبي ولو أنه أصعب قليلا ،،

[nuha1423]

شكراً جزيلاً لكم

بارك الله فيكم وجزاكم خيراً

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته اشكر الاخين مهند وإنشتاين من كل اعماق قلبي على مجهودهما الطيب

لكن عندي استفسار وسؤال

اولا انت قلت يا اخي مهند
((ومن القوانين السابقة يمكنك استنتاج عدد كبير من صيغ المجاميع المغلقة او استخراج قيمها باستخدام فكرة معروفة تدعى بالجمع التلسكوبي وهي ذات اهمية عالية جدا ،،))

ما المقصود بقولك (المجاميع المغلقة ) اتمنى التوضيح
واعطاء مثال على الفكرة الاخيرة عن كيفية استخدام المجموع التلسكوبي

ثانياً اريد ان اعرف ما هو ناتج المجموع التالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\300dpi&space;{\color{green}&space;}\sum_{i={\color{ red}&space;}1}^{n}a^{i}&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;;a=const

[لا اعرف شيئ]

عفوا نسيت ان اسال الاخ مهند ايضاً عن الخاصة التي كتبها اللي محتاجة لتوضيح

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(4)&space;\&space;\sum_{x=n}^{x=k}cf(x)=c\su m_{x=n}^{x=k}x&space;\&space;(c\in&space;\mathbb{R})

[مهند الزهراني]

1- صيغة مغلقة تعني أنك تعوض في الصيغة مباشرة لايجاد المطلوب ، أما صيغة مفتوحة فهي التي تعتمد على حساب كميات اخرى يجب حسابها قبل التعويض في الصيغة ،،،

2- بالنسبة للسؤال اذا كان العدد a عددا ثابتا كما هو مكتوب ، فانها عبارة عن متسلسة هندسية كالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{i=1}^{n}a^i=a+a^2+a^3+.... +a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}-1

3- استعنت بالدوال لتعميم الموضوع ، لكن خذه ببساطة اكبر ، المجموع

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{x=1}^{x=n}cx=c\times&space;1+c\t imes&space;2+...+c\times&space;n=c(1+2+...+n)=c\sum_{x=1}^{x=n }

هنا c هي عبارة عن رقم ثابت حقيقي مثل 2 و 4 و 10 او اي عدد آخر موجود بالمجموع ،،،

الجمع التلسكوبي بالرد التالي ...

[مهند الزهراني]

كمثال على الجمع التلسكوبي نأخذ أبسط مسألة في هذا الموضوع ،،

افرض أنك تريد ايجاد المجموع التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n }

هل ستوجده بالحساب اليدوي مثلا ؟ بالحاسبة ؟ كلها بتطلع منها بدون نتيجة بالنهاية ،،،

أولا تعال ولنحلل الكسر الموجود بالسؤال الى ما يدعى بالكسور الجزئية (partial fraction)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

في هذا المثال الوضع بسيط ولا يحتاج لاستخدام طرق التحليل المتبعة والتي تستهلك وقتا ،،

الان دعنا لنستخدم خواص رمز المجموع

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n }=\sum_{n=1}^{100}\left&space;(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}&space;\right&space;)=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}

الآن ستلاحظ شيئا غريبا !!!

ستختفي كل الحدود ماعدا الحد الاول من المجموع الاول والحد الاخير من المجموع الثاني

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}=\left&space;(&space;1+\frac{1}{2 }+...+\frac{1}{100}&space;\right&space;)-\left&space;(&space;\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}&space; \right&space;)=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}

هذه هي الفكرة الرئيسية وراء الجمع التلسكوبي ...

[دلع بنوته]

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند :)

[مهند الزهراني]

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند :)

العفو :a_plain111:

وهذه امثلة أرجو منكم التدرب عليها وحلها هنا( على المجموع التلسكوبي )

1- اوجد قيمة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2}{1(1+2)}+\frac{2}{2(2+2) }+\frac{2}{3(3+2)}+\frac{2}{4(4+2)}+.....

2- اوجد قيمة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3 ^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....

[دلع بنوته]

طيب ماهو آخر حد ؟

[مهند الزهراني]

طيب ماهو آخر حد ؟

لا يوجد !!!

المتتالية الى مالانهاية !!!

ترا نفس فكرة السؤال السابق سوي نفس الشي وراح تلاحظي كويس وش حيصير :a_plain111:

[دلع بنوته]

طيب السيجما راح تكوون من 1 الى ؟؟؟؟
كيف اعوض عن آخر حد فقط و هو الى مالا نهاية ؟

[مهند الزهراني]

لا تفكري الا لما تكتبي الحل وتوصلي للي براسي وراح تعرفي انك ما بتستفيدي من آخر حد أبدا !!!

بس فكري قليلا !!!

[دلع بنوته]

هذا حلي

http://img103.herosh.com/2010/07/07/128015941.jpg (http://www.herosh.com)

بس لا أحد يعلق على خطّي ولا ترى بعضكم خخخخخخ

[مهند الزهراني]

تمام بدأتي تفكري بشكل كويس ...

لكن عندي ملاحظات ...

1- تحليلك للكسر فيه مشكلة ....

2- لا يجب أن تضعي حد آخر لأنه لو حللتي بطريقة صحيحة راح تلاحظي انه حتى الحد اللي بالمالانهاية راح يختفي أصلا وما راح يبقى الا كم حد بالبداية بس ، وافهم يا فهيم :a_plain111:

هذا توضيح بسيط لطريقة التحليل بالكسور الجزئية في حالة الكسور البسيطة ويمكنك الاستزادة من الكتب المتخصصة وخاصة في باب التكامل تجدي فصل مختص بالتكامل بالكسور الجزئية ...

الآن الحد النوني بالسؤال هو صحيح كما قلتي وهو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2}{n(n+2)} لكن كيف نحلله ؟

الان عندنا المقام أصلا محلل لعاملين فراح نقول أن التحليل الأبسط راح يكون على الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\fr ac{B}{n+2}

الان تعالي ولنجمع الكسرين معا فيصبح

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2}{n(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn }{n(n+2)}

الآن المقام = المقام اذا البسط = البسط ، لكن كيف راح نستفيد من كذا ؟

الآن نهتم بالبسط وراح يصير بعد التبسيط التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2=(A+B)n+2A

الآن تذكري فكرة تساوي كثيرتي حدود ؟

لديك a,b أعداد حقيقية و n هو المجهول وواضح أن معامل n باليسار هو صفر اذا نستنتج أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;A+B=0\rightarrow&space;(1)

وكمان من التساوي نساوي العدد اللي باليسار مع العدد اللي باليمين وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2A=2\rightarrow&space;A=1\rightarrow&space;( 2)\Rightarrow&space;B=-1

الان عوضي بقيم a,b وراح يطلع لك التحليل الصحيح للكسر ...

شوفي الفكرة بسيطة لكنها مهمة وراح تفيدك في حل التمرين مرة ثانية وحل التمرين اللي بعده ..

وفقك الله :a_plain111:

[دلع بنوته]

يعني حلي غلط ؟

><

[مهند الزهراني]

يعني حلي غلط ؟

><

للأسف نعم :(

[دلع بنوته]

الآن تذكري فكرة تساوي كثيرتي حدود ؟

لديك a,b أعداد حقيقية و n هو المجهول وواضح أن معامل n باليسار هو صفر

بس ليش يساوي صفر ؟؟

[مهند الزهراني]

بس ليش يساوي صفر ؟؟

هل في n بالطرف الأيسر ؟ يعني المجهول كما نستخدم بكثيرات الحدود ؟

وبالتالي معامل n يساوي الصفر وليست n نفسها ...

[دلع بنوته]

n تساوي 1 و ليس الصفر
اي عدد مضروب في صفر الناتج صفر
لو كانت n تساوي صفر لأصبح المقار ( a+b ) × ن = صفر
اذا ن =1 !!

[مهند الزهراني]

n تساوي 1 و ليس الصفر
اي عدد مضروب في صفر الناتج صفر
لو كانت n تساوي صفر لأصبح المقار ( a+b ) × ن = صفر
اذا ن =1 !!

لالالالالا تبعدي تفكيرك !!!

الآن بالطرف الايسر ما في N راح يصير معاملها واركز معاملها مو N نفسها يساوي الصفر

يعني a+b هو اللي يساوي الصفر بالطرف الايمن طبعا عشانهم متساويين ...

بعطيك مثال ...

لو قلت لك أن

( أ+ب)س+2أ=2 الطرفين عبارة عن كثيرات حدود متساويين ، وأوجدي أ و ب راح تسوي كذا :

الآن معامل وأركز على كلمة معامل س باليسار هو الصفر لأنه مافي س ، ومنه المفروض معامل س كمان باليسار = صفر معناها انه أ+ب=0 ....... (1)

وكمان نعرف أن أ و ب عدد حقيقي معناها راح نساوي العدد بالعدد يعني 2أ=ب يعني أ=1 وبالتعويض نعرف أن ب= -1

هذا اللي قصدته n مجهول و A,B معاملات ، فكري بتفكير تساوي كثيرتي حدود وراح توصلي ...

والله يوفقك :a_plain111:

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ان طريقة الجمع التلسكوبي وفقا لشرحك اخي مهند
لانستطيع استخدامها مالم نستطع تحويل الدالة او التابع الى الشكل

ai+1 - ai
هل هذا صحيح وان كان ذلك صحيح اعتقد ان طريقة الجمع التلسكوبي لن تؤمن طريقة شاملة لتبسيط عمليات المجموع
ما رأيك

اتمنى ان تفردوا لنا موضوعا يتحدث عن الجمع والضرب التلسكوبي كما ذكرت اخي مهند

[دلع بنوته]

لالالالالا تبعدي تفكيرك !!!

الآن بالطرف الايسر ما في N راح يصير معاملها واركز معاملها مو N نفسها يساوي الصفر

يعني a+b هو اللي يساوي الصفر بالطرف الايمن طبعا عشانهم متساويين ...

بعطيك مثال ...

لو قلت لك أن

( أ+ب)س+2أ=2 الطرفين عبارة عن كثيرات حدود متساويين ، وأوجدي أ و ب راح تسوي كذا :

الآن معامل وأركز على كلمة معامل س باليسار هو الصفر لأنه مافي س ، ومنه المفروض معامل س كمان باليسار = صفر معناها انه أ+ب=0 ....... (1)

وكمان نعرف أن أ و ب عدد حقيقي معناها راح نساوي العدد بالعدد يعني 2أ=ب يعني أ=1 وبالتعويض نعرف أن ب= -1

هذا اللي قصدته n مجهول و A,B معاملات ، فكري بتفكير تساوي كثيرتي حدود وراح توصلي ...

والله يوفقك :a_plain111:

يس فهمت ^^

شكـراً

[عقروب الفيزياء]

السلم عليكم
اشكر الاخ لا أعرف شيئ على تساؤلاته القيمة واشكر الاخ مهند على ردوده المفيدة
بالنسبة للسوال الثاني http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{3}{1^2.2^2}&plus;\frac{5}{2^2.3 ^2}&plus;\frac{7}{3^2.4^2}&plus;.....
حاولت حله ولكن اعذروني على خطي

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ان طريقة الجمع التلسكوبي وفقا لشرحك اخي مهند
لانستطيع استخدامها مالم نستطع تحويل الدالة او التابع الى الشكل

ai+1 - ai
هل هذا صحيح وان كان ذلك صحيح اعتقد ان طريقة الجمع التلسكوبي لن تؤمن طريقة شاملة لتبسيط عمليات المجموع
ما رأيك

اتمنى ان تفردوا لنا موضوعا يتحدث عن الجمع والضرب التلسكوبي كما ذكرت اخي مهند

صحيح ، لكن ترا هذي العملية ما تكون سهلة دائما ، هناك أمثلة للحد النوني تكون في غاية الصعوبة لايصالها للصورة العامة المطلوبة لاستغلال التلسكوبيان ...

بالنسبة لموضوع الجمع والضرب التلسكوبي ان شاء الله يسعفني وقتي عشان احط الموضوع ...

والله يوفقك ...

[مهند الزهراني]

السلم عليكم
اشكر الاخ لا أعرف شيئ على تساؤلاته القيمة واشكر الاخ مهند على ردوده المفيدة
بالنسبة للسوال الثاني http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{3}{1^2.2^2}&plus;\frac{5}{2^2.3 ^2}&plus;\frac{7}{3^2.4^2}&plus;.....
حاولت حله ولكن اعذروني على خطي

طريقتك دقيقة وجيدة ، لكن ربما لا تناسب المبتدأ بالموضوع ولكن فيها دقة رياضية جيدة ...

حلي بالرد التالي ،،

[مهند الزهراني]

المتتابعة الثانية حدها النوني هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n&plus;1}{n^2(n&plus;1)^2} وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n&plus;1}{n^2(n&plus;1)^2}=\frac{A} {n^2}&plus;\frac{B}{(n&plus;1)^2}

الان بجمع الكسور المقام = المقام ومنه البسط = البسط اذا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2n&plus;1=A(n&plus;1)^2&plus;Bn^2\Leftrightarro w&space;2n&plus;1=(A&plus;B)n^2&plus;(2A)n&plus;A&space;\&space;\&space;\&space;\&space;\&space;\Leftrightarrow&space; A=1,B=-1

ومنه

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n&plus;1}{n^2(n&plus;1)^2}=\frac{1} {n^2}-\frac{1}{(n&plus;1)^2}\Rightarrow&space;\sum_{n=1}^{\infty}\f rac{2n&plus;1}{n^2(n&plus;1)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^ 2}-\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(n&plus;1)^2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(n&plus;1)^2}=\left&space;(&space;1&plus;\frac {1}{4}&plus;\frac{1}{9}&plus;...&space;\right&space;)-\left&space;(&space;\frac{1}{4}&plus;\frac{1}{9}&plus;...&space;\right&space;)=1

[رونزا 1986]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الاخ مهند الزهراني اعتقد ان ماكتبته
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n&plus;1}{n^2(n&plus;1)^2}=\frac{A} {n^2}&plus;\frac{B}{(n&plus;1)^2}

هو خطأ بشكل مبدئي ولا يجوز الكتابة بهذا الشكل ( في البداية )
ان كسر المتتالية يفرق الى اربعة كسور ومن ثم نجد ان بسط كسرين مساويين للصفر

بصراحة لم اعرف كيف بدأت مباشرة بهذا الشكل

تقبلوا مروري

[مهند الزهراني]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

أهلا أخي العزيز ....

نعم كما قلت ولكن أعتقد أن التحليل الى 4 او 3 كسور معقد بالنسبة لشخص مبتدأ بموضوع الكسور الجزئية والجمع التلسكوبي ففضلت البدأ بهذه الصورة ، ولعلك لاحظت أن كلا الحالتين ستعطي نفس الحل بالنهاية....

لكن كما تفضل فالدقة العلمية والتفصيل تفترض أن أحلل المقام لـ 4 عوامل ومن ثم اكمل التحليل ...

وجزاك الله خيرا وأتمنى أن تشارك معنا فيبدو أنك شخص متخصص ومتمكن بالموضوع ووجودك مكسب لنا ....

[لا اعرف شيئ]

اشكر الاخوة مهند الزهراني , عقروب الفيزياء , اينشتاين , دلع بنوتة , رونزا 1986على مساهمتهم في ايصال الفكرة وافكارهم الخلاقة
اخوكم الذي لايدّعي المعرفة ( لا اعرف شيئ )