مساعدة رياضية

لا اعرف شيئ · #1 05-07-2010, 14:59

السلام عليكم اخواني
اتمنى ان تفيدوني باهم قوانين ( المجموع ∑ ) المستخدمة في الرياضيات
ولكم جزيل الشكر

مهند الزهراني · #2 05-07-2010, 15:15

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ،،،

هل تقصد خواص رمز المجموع أم المجاميع الشهيرة ؟

وجزيت خيرا ،،،

لا اعرف شيئ · #3 05-07-2010, 15:48

انا قصدت المجاميع الشهيرة

وستكون فائدة الموضوع اكبر ان قدمت لنا خواص المجاميع

شكرا سلفا اخي مهند

مهند الزهراني · #4 05-07-2010, 23:35

بسيطة أخي ،،

افرض أن لديك الدالتين

$\150dpi f(x),g(x)$

وهما اي دالتين تفرضهما اذن فالحقائق التالية صحيحة :
$\150dpi (1) \ \sum_{x=n}^{x=k}(f(x)\pm g(x))=\sum_{x=n}^{x=k}f(x)\pm \sum_{x=n}^{x=k}g(x)$

$\150dpi (2) \ \sum_{x=n}^{x=k+1}f(x)= \sum_{x=n}^{x=k}f(x)+f(k+1)$

$\150dpi \sum_{x=1}^{n}c=nc \ (c\in \mathbb{R})$

$\150dpi (4) \ \sum_{x=n}^{x=k}cf(x)=c\sum_{x=n}^{x=k}x \ (c\in \mathbb{R})$

" بعض المجاميع الشهيرة "

$\150dpi \sum_{x=1}^{x=n}x= \frac{n(n+1)}{2}$

$\150dpi \sum_{x=1}^{x=n}x^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\150dpi \sum_{x=1}^{x=n}x^3= \left (\frac{n(n+1)}{2} \right )^2$

ومن القوانين السابقة يمكنك استنتاج عدد كبير من صيغ المجاميع المغلقة او استخراج قيمها باستخدام فكرة معروفة تدعى بالجمع التلسكوبي وهي ذات اهمية عالية جدا ،،

Einstine · #5 06-07-2010, 01:19

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .....
أود أن أشكر الأخ "لا أعرف شئ" على طرحه لهذا التساؤل والذي لاحظت أنه يمثل مشكلة كبيرة لمن هم يدرسون الرياضيات حديثا ً حيث يقابلون صعوبة فى التعامل مع المعادلات التي يوجد بها المجموع ∑ وخاصة المجاميع اللانهائية .
وإضافة لمشاركة أخي مهند القيمة ، أود أن أضيف بعض الخواص الهامة جدا ً والتى قد نحتاجها فى المعادلات التى تتعامل مع المجموع ∑ :
1 - الخاصية الأولى وهى تتعامل مع ضرب مجموعين :
$\sum^k_{i=1}a_i \times \sum^m_{j=1}b_j= \sum^k_{i=1}\left(\sum^m_{j=1}a_ib_j\right)$
2 - الخاصية الثانية و هي تتعامل مع المجموع المزدوج وتفيد بأن عملية التبديل ممكنة فى المجموع المزودج :
$\sum^k_{i=1}\sum^m_{j=1}a_{ij}=\sum^m_{j=1}\sum^k_{i=1}a_{ij}$
3- الخاصية الثالثة (وهى فكرة الجمع التلسكوبي التي أشار إليها أخي مهند) وهي خاصية مهمة جدا ً وتفيد فى تبسيط عمليات المجموع وهي تفيد بأن مجموع الفرق يعتمد فقط على الحد الأول من المجموع و الحد الأخير منه فقط ولا تعتمد على الحدود الوسطي بينهما :
$\sum^k_{i=1}(a_{i+1}-a_i)=a_{k+1}-a_1$
4 - الخاصية الرابعة وهي خاصية ذات أهمية كبرى فى عالم المجاميع اللانهائية وهي تدعى مضروب كوشي Cauchy Product (وربما نستخدم هذه الخاصية قريبا ً) :
$\sum^{\infty}_{i=0}a_i \times \sum^{\infty}_{i=0}b_i = \sum^{\infty}_{i=0}\sum^{i}_{k=0}a_kb_{i-k}$

مهند الزهراني · #6 06-07-2010, 08:52

جميل جدا استاذي ، وبودي لو يتم طرح موضوع خاص حول الجمع التلسكوبي والضرب التلسكوبي ولو أنه أصعب قليلا ،،

nuha1423 · #7 06-07-2010, 11:08

شكراً جزيلاً لكم

بارك الله فيكم وجزاكم خيراً

لا اعرف شيئ · #8 06-07-2010, 16:56

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته اشكر الاخين مهند وإنشتاين من كل اعماق قلبي على مجهودهما الطيب

لكن عندي استفسار وسؤال

اولا انت قلت يا اخي مهند
((ومن القوانين السابقة يمكنك استنتاج عدد كبير من صيغ المجاميع المغلقة او استخراج قيمها باستخدام فكرة معروفة تدعى بالجمع التلسكوبي وهي ذات اهمية عالية جدا ،،))

ما المقصود بقولك (المجاميع المغلقة ) اتمنى التوضيح
واعطاء مثال على الفكرة الاخيرة عن كيفية استخدام المجموع التلسكوبي

ثانياً اريد ان اعرف ما هو ناتج المجموع التالي
$\300dpi {\color{green} }\sum_{i={\color{red} }1}^{n}a^{i} \: \: \: \: ;a=const$

لا اعرف شيئ · #9 06-07-2010, 17:06

عفوا نسيت ان اسال الاخ مهند ايضاً عن الخاصة التي كتبها اللي محتاجة لتوضيح

$\150dpi (4) \ \sum_{x=n}^{x=k}cf(x)=c\sum_{x=n}^{x=k}x \ (c\in \mathbb{R})$

مهند الزهراني · #10 07-07-2010, 11:18

1- صيغة مغلقة تعني أنك تعوض في الصيغة مباشرة لايجاد المطلوب ، أما صيغة مفتوحة فهي التي تعتمد على حساب كميات اخرى يجب حسابها قبل التعويض في الصيغة ،،،

2- بالنسبة للسؤال اذا كان العدد a عددا ثابتا كما هو مكتوب ، فانها عبارة عن متسلسة هندسية كالتالي

$\150dpi \sum_{i=1}^{n}a^i=a+a^2+a^3+....+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}-1$

3- استعنت بالدوال لتعميم الموضوع ، لكن خذه ببساطة اكبر ، المجموع

$\150dpi \sum_{x=1}^{x=n}cx=c\times 1+c\times 2+...+c\times n=c(1+2+...+n)=c\sum_{x=1}^{x=n}$

هنا c هي عبارة عن رقم ثابت حقيقي مثل 2 و 4 و 10 او اي عدد آخر موجود بالمجموع ،،،

الجمع التلسكوبي بالرد التالي ...

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !