مرجانه
09-12-2010, 15:41
[CENTER]السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
تحويلات لابلاس
بيير سيمون لابلاس ( 1749-1827)
• فكرة تحويل لابلاس :
بكل بساطة ينقلنا من التحليل إلى الجبر، مما يوفر علينا الجهد والوقت، فبدل أن نجري تكاملاً ما أو أن نحل معادلة تفاضلية نقوم بحل معادلات جبرية وعمليات ضرب أو قسمة على حدود جبرية، وهذا يشبه إلى حد ما دور اللغاريتم الذي يحوّل لنا عمليات الضرب والتقسيم إلى عمليات جمع وطرح.
• اهميه تحويل لابلاس
التمكن من حل المعادلات التفاضليه
حيث من المصاعب التي تواجهنا في حل العادلات التفاضليه هي ان المعادله تعتمد ع متغير والشروط الحديه المعطاه تعتمد ع متغير يختلف عن متغير المعادله
التمكن من حل المعادلات التكامليه التى تحل كثير من مشاكل الفيزياء في الطيفيه و الهندسه الرياضيه ومسائل الاتصال وعلاج الاشارات
• ماهو تحويل لابلاس :
عباره عن مؤثر يؤثر على الدله f بمتغيرها t ( الزمن ) الى دالة اخرى F بمتغيرها s ( فضاء التردد)
يعطى تحويل لابلاس بالصيغة العامه التاليه
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue}L\rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }e^{-st}dt}
يطبق هذا التاثير على الداله ( f(t
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} \int_{-\infty }^{\infty }e^{-st}\left [f(t) \right ]dt
حيثُ s فضاء التردد( عباره عن عدد مركب)
أي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} s=\sigma +i\xi }
يكون التكامل موجود اذا كان متقارب في الفتره ( ∞,∞-)
ولكي يكون التكامل محدود ( أي التكامل تكون له قيمه منتهيه )
لابد ان تكون
T > 0
وسيكتب تحويل لابلاس النهائي عندئذ كالتالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} F(s) =\int_{0 }^{\infty }e^{-st}\left [ f(t) \right ]dt}
ملاحظه ( توجد علاقه بين تحويل لابلاس وفورييه ساذكرها عند شرح تحويل فورييه )
الان
ماهي قيمة الـ s او شرط للـ s حتى تكون قيم التكامل التاليه محدوده في الدوال التاليه
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} 1)\; \; f(t)=1} \\ \\{\color{blue} 2)\; \; f(t)=e^2^t} \\\\{\color{blue} 3)\; \; f(t)=e^{(t)^2}}
بتلاحظ ان شرط الـ s حتى يكون التكامل محدود للثلاث دوال
1- جميع القيم متاحه لان الداله f(t)=1 لاتؤثر على الداله الاسيه
2- S > 2
3- لاتوجد شروط لان التكامل مهما كان يؤدي الى ما لانهايه ( حل غير فيزيائي )
خصائص تحويل لابلاس ( properties of the laplace transform )
1- الخطيه linearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} L(\, \, c_{1}[f_{1}(t)]+c_{2}[f_{2}(t)]\, \, )= c_{1}F_{1}(s)+c_{2}F_{2}(S)}
لنثبت ذالك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \, L( \, \, c_{1}\left [ f_{1}(t) \right ]+c_{2}\left [ f_{2}(t) \right ] \, \, ) = \int_{0}^{\infty }[\, (c_{1}f_{1}(t))+c_{2}f_{2}(t)\, ]e^{-st}dt\\\\ =\int_{0}^{\infty }c_{1}f_{1}(t)e^{-st}dt\, +\int_{0}^{\infty }c_{2}f_{2}(t)e^{-st}dt \\\\=c_{1}F_{1}(s)\, +\, c_{2}F_{2}(s)
2- الاشتقاق
إن تحويل لا بلاس المشتقة الأولى للدالة الزمنية( f(tهو حاصل ضرب(S) في تحويل لا بلاس للدالة f(t) مطروحاً منها (f(o عندما تقتـــرب t من + O ، أي أن :-
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} L\, [\frac{df(t)}{dt}]= sF(s)-f_{0}}
نثبت ذالك باستخدام التكامل بالتجزي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi L\, [\frac{df(t)}{dt}]=\int_{0}^{\infty }e^{-st}\frac{df(t)}{dt}dt\\\\u=e^{-st},dv=df(t)\\\\=[e^{-st}f(t)]\mid _{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }(-s)f(t)e^{-st}dt\\\\=-f_{0}+sF(s)
وممكن ايجاد تحويل لابلاس للمشتقه الثانيه والثالثه الى ...
اوجد تحويل لابلاس للمشتقه الثانية ؟؟؟
هل بامكانك ايجاد تحويل لابلاس للمشتقة n ؟؟؟
3- الانتقال( التحرك ) (shifting in the s or t - axis )
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi f(t)=e^{at}f(t)\Rightarrow F(s)=F(s-a) \\\\L^{-1}\left [ F(s-a) \right ]=f(t)=e^{at}L^{-1}\left [ F(s) \right ]=e^{\pm at}f(t)
انتبه للاشارة
اثبات ذالك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi f(t)=\, e^{\pm\, at}f(t)\, \, \, \Rightarrow \, F(s)=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)e^{\pm \, at}dt\\\\=F(s\mp \, a)
الان
اوجد (F(s عندما
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi 1)\, \, \, f(t)=e^{at} \\2)\, \, \, f(t)=\sin at \\ 3)\, \, \,f(t)= t\cos at
ساترك الفقرة الأولى وأبدا بالفقرة الثانية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty }\sin at\, \, e^{-st}dt \\\sin at=Im\,\, e^{iat}\Rightarrow \int_{0}^{\infty }Im\, \, e^{iat}e^{-st}dt=Im\int_{0}^{\infty }e^{iat}e^{-st}dt=Im\int_{0}^{\infty }e^{-(s-ia)t}=Im[\frac{-e^{-(s-ia)t}}{s-ia}]\mid _{0}^{\infty }\, \, =Im[0+\frac{1}{s-ai}]=Im\frac{1}{s-ai}{\color{blue} \ast \frac{s+ai}{s+ai}}=Im\frac{s+ia}{s^2+a^2}\Rightarr ow F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}
لاحظ ان النتيجه مرتبطه فقط بالجز التخيلي
Im
بالتوفيق .
تحويلات لابلاس
بيير سيمون لابلاس ( 1749-1827)
• فكرة تحويل لابلاس :
بكل بساطة ينقلنا من التحليل إلى الجبر، مما يوفر علينا الجهد والوقت، فبدل أن نجري تكاملاً ما أو أن نحل معادلة تفاضلية نقوم بحل معادلات جبرية وعمليات ضرب أو قسمة على حدود جبرية، وهذا يشبه إلى حد ما دور اللغاريتم الذي يحوّل لنا عمليات الضرب والتقسيم إلى عمليات جمع وطرح.
• اهميه تحويل لابلاس
التمكن من حل المعادلات التفاضليه
حيث من المصاعب التي تواجهنا في حل العادلات التفاضليه هي ان المعادله تعتمد ع متغير والشروط الحديه المعطاه تعتمد ع متغير يختلف عن متغير المعادله
التمكن من حل المعادلات التكامليه التى تحل كثير من مشاكل الفيزياء في الطيفيه و الهندسه الرياضيه ومسائل الاتصال وعلاج الاشارات
• ماهو تحويل لابلاس :
عباره عن مؤثر يؤثر على الدله f بمتغيرها t ( الزمن ) الى دالة اخرى F بمتغيرها s ( فضاء التردد)
يعطى تحويل لابلاس بالصيغة العامه التاليه
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue}L\rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }e^{-st}dt}
يطبق هذا التاثير على الداله ( f(t
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} \int_{-\infty }^{\infty }e^{-st}\left [f(t) \right ]dt
حيثُ s فضاء التردد( عباره عن عدد مركب)
أي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} s=\sigma +i\xi }
يكون التكامل موجود اذا كان متقارب في الفتره ( ∞,∞-)
ولكي يكون التكامل محدود ( أي التكامل تكون له قيمه منتهيه )
لابد ان تكون
T > 0
وسيكتب تحويل لابلاس النهائي عندئذ كالتالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} F(s) =\int_{0 }^{\infty }e^{-st}\left [ f(t) \right ]dt}
ملاحظه ( توجد علاقه بين تحويل لابلاس وفورييه ساذكرها عند شرح تحويل فورييه )
الان
ماهي قيمة الـ s او شرط للـ s حتى تكون قيم التكامل التاليه محدوده في الدوال التاليه
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} 1)\; \; f(t)=1} \\ \\{\color{blue} 2)\; \; f(t)=e^2^t} \\\\{\color{blue} 3)\; \; f(t)=e^{(t)^2}}
بتلاحظ ان شرط الـ s حتى يكون التكامل محدود للثلاث دوال
1- جميع القيم متاحه لان الداله f(t)=1 لاتؤثر على الداله الاسيه
2- S > 2
3- لاتوجد شروط لان التكامل مهما كان يؤدي الى ما لانهايه ( حل غير فيزيائي )
خصائص تحويل لابلاس ( properties of the laplace transform )
1- الخطيه linearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} L(\, \, c_{1}[f_{1}(t)]+c_{2}[f_{2}(t)]\, \, )= c_{1}F_{1}(s)+c_{2}F_{2}(S)}
لنثبت ذالك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \, L( \, \, c_{1}\left [ f_{1}(t) \right ]+c_{2}\left [ f_{2}(t) \right ] \, \, ) = \int_{0}^{\infty }[\, (c_{1}f_{1}(t))+c_{2}f_{2}(t)\, ]e^{-st}dt\\\\ =\int_{0}^{\infty }c_{1}f_{1}(t)e^{-st}dt\, +\int_{0}^{\infty }c_{2}f_{2}(t)e^{-st}dt \\\\=c_{1}F_{1}(s)\, +\, c_{2}F_{2}(s)
2- الاشتقاق
إن تحويل لا بلاس المشتقة الأولى للدالة الزمنية( f(tهو حاصل ضرب(S) في تحويل لا بلاس للدالة f(t) مطروحاً منها (f(o عندما تقتـــرب t من + O ، أي أن :-
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi {\color{blue} L\, [\frac{df(t)}{dt}]= sF(s)-f_{0}}
نثبت ذالك باستخدام التكامل بالتجزي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi L\, [\frac{df(t)}{dt}]=\int_{0}^{\infty }e^{-st}\frac{df(t)}{dt}dt\\\\u=e^{-st},dv=df(t)\\\\=[e^{-st}f(t)]\mid _{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }(-s)f(t)e^{-st}dt\\\\=-f_{0}+sF(s)
وممكن ايجاد تحويل لابلاس للمشتقه الثانيه والثالثه الى ...
اوجد تحويل لابلاس للمشتقه الثانية ؟؟؟
هل بامكانك ايجاد تحويل لابلاس للمشتقة n ؟؟؟
3- الانتقال( التحرك ) (shifting in the s or t - axis )
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi f(t)=e^{at}f(t)\Rightarrow F(s)=F(s-a) \\\\L^{-1}\left [ F(s-a) \right ]=f(t)=e^{at}L^{-1}\left [ F(s) \right ]=e^{\pm at}f(t)
انتبه للاشارة
اثبات ذالك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi f(t)=\, e^{\pm\, at}f(t)\, \, \, \Rightarrow \, F(s)=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)e^{\pm \, at}dt\\\\=F(s\mp \, a)
الان
اوجد (F(s عندما
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi 1)\, \, \, f(t)=e^{at} \\2)\, \, \, f(t)=\sin at \\ 3)\, \, \,f(t)= t\cos at
ساترك الفقرة الأولى وأبدا بالفقرة الثانية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty }\sin at\, \, e^{-st}dt \\\sin at=Im\,\, e^{iat}\Rightarrow \int_{0}^{\infty }Im\, \, e^{iat}e^{-st}dt=Im\int_{0}^{\infty }e^{iat}e^{-st}dt=Im\int_{0}^{\infty }e^{-(s-ia)t}=Im[\frac{-e^{-(s-ia)t}}{s-ia}]\mid _{0}^{\infty }\, \, =Im[0+\frac{1}{s-ai}]=Im\frac{1}{s-ai}{\color{blue} \ast \frac{s+ai}{s+ai}}=Im\frac{s+ia}{s^2+a^2}\Rightarr ow F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}
لاحظ ان النتيجه مرتبطه فقط بالجز التخيلي
Im
بالتوفيق .