ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

تغريـد · #15 16-03-2010, 01:17

يارك الله فيك أخي الكريم و جزاك خير الجزاء

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

أخي الكريم الصادق
هل هذا يعني أن ما ذكر في الفقرة قبل الأخيرة في صفحة 3339 غير صحيح أم تراني لم استوعب ما كتب جيد و كانت بالتالي ترجمتي له خاطئة

في الحقيقة كان ذلك القول مقنعا بالنسبة لي طالما كنا نتحدث عن نظام فيه عدد كبير من الجسيمات للفها المغزلي اتجاهات متباينة فكان من السهل التصور أن النتيجة للنظام ككل أن لا اتجاه للجميع

و لكن إذا كان الوصف لجسيم مفرد فمن المقنع أن يكون لا معني للجمع بين اتجاهين في نفس الوقت
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟