spin observable

الصادق · #11 15-03-2010, 19:30

أرجو أيضا أن اعلم ما المقصود فيزيائيا هنا بحالة الاستقطاب و عدم الاستقطاب

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !