ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

تغريـد · #4 03-04-2010, 00:39

عملية التقاطع intersection

إذا كان A و B مجموعتين فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى مجموعة التقاطع إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B يرمز لها ب
$A\cap B=\{x:x\in A, x\in B \}$

وكما هو الحال في عملية الاتحاد ، يمكن تمثيل عملية التقاطع بأشكال فن Venn diagrams كما يلي

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Ve...ntersect_B.svg

أمثلة
فإذا كانت
$A = \{1,2,3,4\}$
و كانت
$B = \{2,4,6,8\}$
فإن

$A \cap B =\{2,4 \}$

كذلك إذا كانت
$A = \{x:x \textrm{is an even number}, x > 1\} \\ B = \{x:x \textrm{is an odd number}, x > 1\}$

فإن
$A \cap B =\{\}$

لاحظوا معي هنا أهمية وجود المجموعة الخالية فلولاها لأصبحت عملية التقاطع ليست معرفة دائما

و نلاحظ أيضا كيف أن المجموعة الخالية يجب اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة
و أن المجموعات الخالية متطابقة مهما كان أصلها
و يؤكد ذلك المثال التالي

$\{1, 2\} \cap \{red, white\} = \varnothing$

أما عن خواص عملية التقاطع يمكننا ملاحظة أنه رغم الخلاف الكبير بين تعريف عملية التقاطع و الاتحاد
إلا ان كلاهما عمليات إبدالية و دامجة
من خواص عملية التقاطع
1- عملية التقاطع عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
$A \cap B =B \cap A$
تحقق من ذلك.

2- أن عملية التقاطع عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
تحقق من ذلك.
و عليه كما أوضحنا مسبقا يمكن إجراء عملية التقاطع أكثر من مرة بدون استخدام الأقواس

أي أن $A \cap B \cap C =( A \cap B) \cap C$

تقاطع عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات
و نظرا لأن عملية التقاطع أيضا دامجة يمكن بكل سهولة تعريف عملية التقاطع لأي عدد من المجموعات
فإذا كان لدينا عدد من المجموعات و ليكن $\{A_i : i \in I\}$

فإن مجموعة التقاطع هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا كان هذا العنصر ينتمي لـ $A_{i}$ لكل $\{A_i : i \in I\}$

أمثلة

$\bigcap_{n=1}^{50}(0,n)=(0,1) \\ \bigcap_{a>0}(-\infty ,a)= (-\infty ,0] \\ \bigcap_{n=1}^{\infty }(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\} \\ \bigcap_{a \in R}[a, \infty )= \varnothing$

يتبـــع