ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الشبل الكبير · #5 14-01-2011, 18:21

بتربيع المعادلة المعطاة:

$cot^2a+cot^2b+cot^2c+2\left ( cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota \right )=3$ .....(1)

الآن علينا إيجاد قيمة $cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota$

نعلم أن:

$a+b+c=180^{\circ}$

$a+b=180^{\circ}-c$

$tan\left ( a+b \right )=-tanc$

$\frac{tana+tanb}{1-tana\cdot tanb}=-tanc$

$tana+tanb+tanc=tana\cdot tanb\cdot tanc$

وبقسمة الطرفين علي $tana\cdot tanb\cdot tanc$

$\therefore cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota=1$ .....(2)

بضرب (2) ×(3) وطرح (1) من (3):

$2cot^2a+2cot^2b+2cot^2c-2cota\cdot cotb-2cotb\cdot cotc-2cotc\cdot cota=0$

$\therefore \left ( cot^2a-2cota\cdot cotb+cot^2b \right )+\left ( cot^2b-2cotb\cdot cotc+cot^2c \right )+(cot^2c-2cotc\cdot cota+cot^2a)=0$

$\therefore (cota-cotb)^2+\left ( cotb-cotc \right )^2-(cotc-cota)^2=0$

أي أن: $tana=tanb$ وأيضاً $tanb=tanc$ وكذلك: $tanc=tana$

أي أن:

$tana=tanb=tanc$

إذن الزوايا الثلاث متساوية ومقدار كل منهما 60 درجة

أي أن المثلث متساوي الأضلاع

(..الْحَمْدُ لِلّهِ الَّذِي هَدَانَا لِهَذَا وَمَا كُنَّا لِنَهْتَدِيَ لَوْلا أَنْ هَدَانَا اللّهُ..) (الأعراف 43)