[mysterious_man]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مجموع الأرقام الطبيعية
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............to infinity eq1
نضرب المعادلة eq1 × 2
s2=2+4+6+8+10+ ...... to infinity ... eq2

S1 هي مجموع كل الأعداد الطبيعية بينما S2 هي مجموع فقط مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية وهي الأعداد الطبيعية الزوجية دون الفردية إن من الواضح أن S1>S2 ولكن S2=2×S1 إذن يجب أن يكون S2>S1 ..... يبدو أن هناك تناقضاً فيمن أيهما أكبر S1 أم S2 ............. ما رأيكم؟

[البيلسان2010]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

برأي بما أن S2 هي جزء من S1 إذن S1 أكبر من S2

والله أعلم

وبارك الله فيك

[تغريـد]

لا أدري هل يسمح لي بالمشاركة
و لكني سأدور حول الجواب
و لكني أريد أن أنوه إلى أن القواعد التي تحكم الأعداد لا تنطبق على المالانهاية لأنها ليست عدد
فنحن كما نعلم مثلا أن ضعف أي عدد موجب أكبر منه و لكن مضاعفة عدد يؤول للمالانهاية يؤول للمالانهاية

و لو كانت قوانين الأعداد تنطبق على المالانهاية لأمكن إثبات

عند أخذ أي عدد و ليكن 5 أضف إليه مالانهاية ينتج مالانهاية
فلو كانت المالانهاية عدد لأمكن
تطبيق قانون الحذف احذف المالانهاية من الطرفين يتبقى 5 تساوي صفر
و هذا بالطبع غير صحيح

5+مالانهاية=مالانهاية
هذا يعني أنه لو كانت المالانهاية عدد فإن
5=0
و لكن هذا غير صحيح طبعا
لذا ما لا نهاية ليست عدد

و بالمناسبة هذا مثال جميل على متتابعة من العناصر (الأعداد الطبيعية مرتبة ) تؤول إلى عنصر ليس منها و لا من مجموعات الأعداد الأخرى

[mysterious_man]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد لا أدري هل يسمح لي بالمشاركة و لكني سأدور حول الجواب و لكني أريد أن أنوه إلى أن القواعد التي تحكم الأعداد لا تنطبق على المالانهاية لأنها ليست عدد فنحن كما نعلم مثلا أن ضعف أي عدد موجب أكبر منه و لكن مضاعفة عدد يؤول للمالانهاية يؤول للمالانهاية و لو كانت قوانين الأعداد تنطبق على المالانهاية لأمكن إثبات عند أخذ أي عدد و ليكن 5 أضف إليه مالانهاية ينتج مالانهاية فلو كانت المالانهاية عدد لأمكن تطبيق قانون الحذف احذف المالانهاية من الطرفين يتبقى 5 تساوي صفر و هذا بالطبع غير صحيح 5+مالانهاية=مالانهاية هذا يعني أنه لو كانت المالانهاية عدد فإن 5=0 و لكن هذا غير صحيح طبعا لذا ما لا نهاية ليست عدد و بالمناسبة هذا مثال جميل على متتابعة من العناصر (الأعداد الطبيعية مرتبة ) تؤول إلى عنصر ليس منها و لا من مجموعات الأعداد الأخرى

جزاكي الله خيراً أستاذة تغريد على هذا التحليل العلمي الدقيق

[mysterious_man]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة البيلسان2010 وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته برأي بما أن S2 هي جزء من S1 إذن S1 أكبر من S2 والله أعلم وبارك الله فيك

جزاك الله خيراً حول هذا الاستنتاج استاذنا و لكن أظن أنه ينبغي أن تكون عدد عناصر S2 نصف عدد عناصر S1 (على الرغم أن عدد الحدود في الحالتين لا نهائي) حتى يصح حلك

[M. Amin]

أولا جزاك الله خيرًا أن جعلت عنوان الموضوع "مغالطة" رياضية
فهذا يعني أنك تعرف ما تقوله عكس الكثيرين!

ما سأقوله معتمد على ما هو مذكور في الكثير من كتب الحسبان Calculus (الكتب الكبيرة بالطبع)، وهو اللا نهائي، واللا متناهي الصغر Infinite and Infinitesimal والمقارنة بين كميتين لا نهائيتين، أو كميتين لا متناهيتي الصغر.
ولم أحاول البحث في المتتابعات والمتسلسلات.

وشكرًا لأنك جعلت السؤال في مقارنة بين مجموعين وليس بين فئتين، فأنا لم أدرس الفئات بشكل جيد بعد. فلو قلت أن فئة الأعداد الزوجية هي فئة جزئية من فئة الأعداد الطبيعية، ثم طلبت حل التناقض لصرت في مأزق!.. لم أدخل في دراسة الفئات اللا نهائية بعد.

بسم الله
أولا يجب أن نعرف ما هي اللا نهاية حتى لا يلتبس الأمر. اللا نهاية ليست "عدد" بأي حال من الأحوال كما تفضلت أختنا تغريد.
اللا نهاية هي "اتجاه" وليس "مكان" كما يقولون عن السعادة.. يمكننا أن نتحدث المعنى الفلسفي لهذا، ولكنني متأكد أن الإخوة الأفاضل هنا لا يحتاجون إلى ذلك.
ويمكننا كذلك أن نضرب أمثلة على ذلك. لكنني أكره الأمثلة في الواقع!

فأما التعبير الرياضي عن الما لا نهاية بقدر علمي، فهي "متغير" يزيد بلا حدود. كذلك اللا متناهي الصغر، هو "متغير" ينقص بلا حدود.
من الآن فصاعدًا سأعتبر أي كمية (متغير) لا نهائية هي مقلوب لكمية لا متناهية الصغر، فقط لأنني اعتدت ذلك لا أكثر.

1- للتعامل مع كميات لا متناهية الصغر Infinitesimal، فإننا نضعها أولا في صورة دالة ما، وندرسها "قبل" أن نجعل المتغير فيها يؤول للما لا نهاية

فلنعتبر أن
وأن
إذًا

ولنكتب
وكذلك
إذًا
إذًا

2- لمقارنة كميتين لا متناهيتي الصغر، فإننا ندرس النسبة بينهما. فإذا آل الكسر إلى الصفر، فإننا نقول أن الـ infinitesimal الذي في البسط هو من رتبة أعلى من ذلك الذي في المقام (أي أنه يؤول للصفر "أسرع" من ذلك الذي في المقام، وبالتالي فإن مقلوبه يؤول لما لا نهاية أسرع من مقلوب ذلك الذي في المقام)
أما لو آل الكسر إلى عدد غير الصفر، فإننا نقول أن المتغيرين لهما نفس الرتبة، ولا يمكننا الجزم بأن أحدهم أصغر أو أكبر من الآخر. وفي الحالة التي يؤول فيها الكسر إلى الواحد الصحيح، فإننا نقول أن المتغيرين متكافئين.

والآن، فلنجعل n تؤول لما لا نهاية، ولنرى إلى ماذا سيؤول الكسر السابق

وهكذا أستطيع أن أقول:
في حالة أخذنا لأي عدد "نهائي" من الحدود في المتسلسلتين السابقتين، فإن S2 دائمًا أكبر من S1
أما في حال أخذنا عدد لا نهائي من الحدود، فإننا لا نجزم بأن أحدهما أكبر من الآخر...

هذا ما عندي والله أعلم.

[asem007]

شكر لك استاذ M. Amin اسلوب رائع

[M. Amin]

بل شكرًا لك سيد عاصم..
أنا لست أستاذًا

[nr-omar]

عندي حل بسيط و سهل جـــدا
الخـــــطأ هو في S1>S2 ؟؟؟ هذه ليست صحيحة
العكس S2 > S1 ، لمـــاذا ؟
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............n
s2=2+4+6+8+10+12+14.......2n
n عدد طبيعي
نلاحظ أن عدد العناصر في المجموعة S1 هو n عنصر
و أيضا في المجموعة S2 هو n عنصر
أكبر عنصر في المجموعة S1 هو n
إذا توجد عناصر غير موجود في المجموعة S1 و موجودة في المجموعة S2 و هي n+2 ; n+4 ; .....2n

أردت أن تغلطنا في كلمة المحتواة الخاطئة و أيضا عند كتابتك للمجموعتين و ادخالك للمالنهاية
لأنو المجموعتين مرتبطتين فيجب أن يكون عدد عناصرهما متساويين
الكتابة الصحيحة للمجموعتين
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............n
s2=2+4+6+8+10+12+14.......2n
كان يجب أن تحدد النهاية بلدلة عدد n حتى تكون المعطيات متطابقة معها

[nr-omar]

بالنوفيق لك أخي