سؤال خفيف

مهند الزهراني · #1 08-05-2011, 16:35

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سؤال حلو وخفيف أتمنى يعجبكم ، اذا كانت a,b,c أطوال أضلاع مثلث تحقق العلاقتين التاليتين

$a+b-c=2 \ , \ 2ab-c^2=4$

فبرهن أن المثلث متطابق الأضلاع

بالتوفيق

زهرة الأوركيد · #2 08-05-2011, 20:23

$\\a+b-c=2\Rightarrow a+b=2+c\\\\ 2ab-c^2=4\Rightarrow ab=\frac{4+c^2}{2}$

لدينا مجموع عددين وحاصل ضربهم ، فنستطيع تكوين معادلة من الدرجة الثانية يكون جذورها a و b

$x^2-(2+c) x+\frac{4+c^2}{2} =0$

باستخدام القانون العام :

$x=\frac{(2+c)\pm \sqrt{(2+c)^2-2(4+c^2)}}{2}=\frac{(2+c)\pm \sqrt{-(c-2)^2}}{2}$

ليكون للمعادلة حلول حقيقية يجب أن يكون المميز أو ما تحت الجذر أكبر أو يساوي الصفر وبما أن ما تحت الجذر = سالب مقدار مربع فالاحتمال الوحيد أن يكون المقدار المربع = 0 ..

$c-2 = 0 \Rightarrow c=2$

وبما أن المميز = 0 فللمعادلة جذر مكرر أي أن a=b

$a=b=\frac{2+2} {2}=2=c$

الأطوال متساوية ==> المثلث متطابق الأضلاع

رائد زمانه · #3 08-05-2011, 20:50

حلو ..... حليتها قبلي هههههه

مهند الزهراني · #4 08-05-2011, 21:48

يعطيك العافية حل جميل

ولي عودة بفكرة اخرى للحل باذن الله

مهند الزهراني · #5 09-05-2011, 15:19

حلي تقريبا بنفس الفكرة بس بشكل ثاني

يعني نربع اول معادلة ونعوض من الثانية لنصل الى

$a^2+b^2=c^2+4$

الان نعلم أن $a^2+b^2\geq 2ab$

وبالتعويض عن الطرفين مما سبق نصل الى ان

$(c-2)^2\leq 0$

وبالتالي يجب أن يكون c=2

وبالتعويض وحل نظام المعادلات نصل الى ان a=b=c=2

nuha1423 · #6 09-07-2011, 12:16

شكراً لكم جميعاً بارك الله فيكم وجزاكم خيراً

معلمه طموحه · #7 10-07-2011, 00:18

شكراً لكم جميعاً

سبحانك اللهم وبحمدك ، أشهد أن لا إله إلا أنت أستغفرك وأتوب إليك

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !