قانون(low) دي موافر

زولديك · #1 02-10-2010, 22:14

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم,,,

برهن قانون (low) دي موافر بطريقتين مختلفتين
${\color{blue} { z^{n}=\left | z \right |^{n}(cos(n\Psi ))+isin(n\Psi )=(\left | z \right |(cos(n\Psi )+isin(n\Psi )))^{n}}}rf$

بالتوفيق,,,:s_thumbup:

زولديك · #2 03-10-2010, 20:51

وين ما في حد

مهند الزهراني · #3 04-10-2010, 15:40

بداية أفضل الصياغة المعممة لقانون ديموافر

$\150dpi \prod_{k=1}^{n}z_k=\prod_{k=1}^{n}r_k\left ( \cos \sum_{k=1}^{n}\theta _k+i\sin\sum_{k=1}^{n}\theta _k \right )$

حيث

$\150dpi z_m=r_m(\cos \theta_m+i\sin \theta _m) \ , \ \forall m\in \left \{ 1,2,...,n \right \}$

وان شاء الله اذا قدرت باحط برهان بالرد التالي ...

مهند الزهراني · #4 04-10-2010, 16:26

نثبتها باستخدام الاستقراء الرياضي ...

عند n=1 الصيغة واضحة وهي الصيغة المثلثية لعدد مركب ..

نفرض صحة العلاقة عند n=k أي نفرض أن العلاقة التالية صحيحة

$\150dpi z^k=r^k(\cos kx+i\sin kx):r=\left | z \right |$

الان يجب أن نثبت صحة العلاقة عند n=k+1 كالتالي

$\150dpi z^{k+1}=z^k.z=r^{k+1}\left [ \left ( \cos kx \cos x-\sin kx \sin x \right ) \right+i\left ( \sin kx \cos x+\cos kx \sin x \right ) ]$

وبالاستفادة من قوانين حساب المثلثات لما بين القوسين نستنتج أن

$\150dpi z^{k+1}=r^{k+1}\left ( \cos (k+1)x +i\sin (k+1)x\right )$

" ملاحظة : الطريقة السابقة في الاثبات تثبت العلاقة عند قيم n الطبيعية فقط "

زولديك · #5 04-10-2010, 23:26

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

نثبتها باستخدام الاستقراء الرياضي ...

عند n=1 الصيغة واضحة وهي الصيغة المثلثية لعدد مركب ..

نفرض صحة العلاقة عند n=k أي نفرض أن العلاقة التالية صحيحة

$\150dpi z^k=r^k(\cos kx+i\sin kx):r=\left | z \right |$

الان يجب أن نثبت صحة العلاقة عند n=k+1 كالتالي

$\150dpi z^{k+1}=z^k.z=r^{k+1}\left [ \left ( \cos kx \cos x-\sin kx \sin x \right ) \right+i\left ( \sin kx \cos x+\cos kx \sin x \right ) ]$

وبالاستفادة من قوانين حساب المثلثات لما بين القوسين نستنتج أن

$\150dpi z^{k+1}=r^{k+1}\left ( \cos (k+1)x +i\sin (k+1)x\right )$

" ملاحظة : الطريقة السابقة في الاثبات تثبت العلاقة عند قيم n الطبيعية فقط "

طيب و كيف نعمم البرهان ؟. لو قدرت تعمم , يصير عندي 3 براهين لقانون دي موافر :a_plain111: , انتظر تعميمك ,انتظرك على خير عزيزي مهند :s_thumbup:

زولديك · #6 05-10-2010, 22:15

مهند وينك

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !