الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

مهند الزهراني · #1 30-01-2011, 22:59

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

كما يعلم البعض أن موضوع الإستقراء الرياضي موضوع مهم في فروع عدة مثل نظرية الأعداد واثبات لقضايا في التركيبات ، الجبر اضافة لبعض الفروع الأخرى ...

ولذلك سيكون هذا الموضوع مني ومنكم أي أن يضع احدنا مسألة ثم يحاول الآخرون الإجابة عليها
وهكذا لتعم الفائدة للكل ...

وسأبدأ بسؤال بسيط وأتمنى أن يعم النشاط هذا الموضوع الجميل ...

برهن أن

$\sum_{k=1}^{k=n}ar^k=a\left (\frac{r^{k+1}-1}{r-1} \right )$

مهند الزهراني · #2 31-01-2011, 00:26

للمعلومية

يمكن فرض متباينة واثباتها بالاستقراء ومن خلالها تثبت المتباينة الموجودة بالسؤال هنا

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=57796

زولديك · #3 31-01-2011, 17:09

اولا

${\color{blue} \sum_{0}^{n}ar^{k}=a(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})\Leftrightarrow \sum_{0}^{n}r^{k}=(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})}$
.

نختبر صحة هذه الاخير عند k=0 و منه نجد ان
${\color{blue} \sum_{0}^{n}r^{k}=(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})\Rightarrow \sum_{0}^{n}r^{0}=(\frac{r^{0+1}-1}{r-1})}$

و هي صحيحة . نفرض صحة العلاقة عند k=z أي ان

${\color{blue} \sum_{0}^{k=z}r^{z}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})}$

الآن من جديد نريد ان ننطلق من صحة العلاقة عند k=z إلى k=z+1 و بالتعويض k=z+1 نجد أن

${\color{blue} \sum_{0}^{k=z+1}r^{z+1}=(\frac{r^{z+2}-1}{r-1})}$

الآن يتوجب علينا الوصول غلى هذه الاخير بإستخدام الأفتراض الاول و هو صحة العلاقة عند k=z و في سبيل ذلك نجد ان
$\sum_{0}^{k=z}r^{z}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})\Rightarrow \sum_{0}^{k=z}r^{z}+r^{z+1}=\sum_{0}^{k=z+1}r^{k}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})+r^{z+1}=(\frac{r^{z+1}-1+r^{z+2}-r^{z+1}}{r-1})=\frac{r^{z+2}-1}{r-1}$

وهو المطلوب الوصول إليه .

جبريا

نعلم ان ${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(0)}$
و منه نجد
${\color{blue} f(k)=r^{k}\Rightarrow \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=r^{k+1}-1}$

لكن

${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=\sum_{0}^{k=n}r^{k}.r-r^{k}=\sum_{0}^{k=n}r^{k}(r-1)=(r-1)\sum_{0}^{k=n}r^{k}}$

اي ان

${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=(r-1)\sum_{0}^{k=n}r^{k}=r^{k+1}-1\Leftrightarrow \sum_{0}^{k=n}r^{k}=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}}$

مهند الزهراني · #4 31-01-2011, 21:10

حل جميل

يلا ننتظر محاولتك للسؤال الثاني

مهند الزهراني · #5 31-01-2011, 21:15

اذا عرفنا العدد

$F_n=2^{2^n}+1$

فبرهن أن

$F_1F_2...F_{n-1}=F_n-2$

زولديك · #6 01-02-2011, 16:44

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا عرفنا العدد

$F_n=2^{2^n}+1$

فبرهن أن

$F_1F_2...F_{n-1}=F_n-2$

لا لا لا لا لا

انا بنزل سؤال مو انت , انا جاوبت يعني دوري , اتفقنا يا قمر؟

الهَياء · #7 01-02-2011, 21:59

،

بآرك الله في جُهودكم ~

زولديك · #8 02-02-2011, 01:20

الو مهند شو انزل سؤال ولا لأ , وراح يكون في نظرية الأعداد

مهند الزهراني · #9 02-02-2011, 01:39

اهلا

لا مشكلة وسأضع البرهان لمسألتي لاحقا ان شاء الله ..

مهند الزهراني · #10 02-02-2011, 13:51

زولديك اعذرني سأفصل سؤالك بموضوع مستقل ، العنوان واضح فهو عن الاستقراء الرياضي

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !