القيم المتوقعة

رجب مصطفى · #22 20-01-2011, 00:59

من المعروف أن القيمة المتوقعة لنصف القطر تُعطى من المعادلة:

$\left \langle r \right \rangle = \int \psi^{\ast}_{nlm} \;\hat{r} \;\psi_{nlm}\;dv$

وللحالة الأرضية ... تأخذ الدالة الموجية الصورة:

$\psi_{nlm}= \psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3/2} e^{-r/a_{0}}$

وحيث أن عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية القطبية يأخذ الصورة:

$dv\equiv d^{3}r=r^{2}dr\;\sin \theta \; d\theta \;d\phi$

ونظراً للتماثل الكروي في هذه الحالة (الأرضية)، فإنه يأخذ الصورة:

$dv=4 \pi \;r^{2}dr$

وذلك بعد تكامل الجزء الزاوي !!!

نعود لمعادلتنا الأصلية ... والتي ستُصبح:

$\left \langle r \right \rangle =4\pi \int^{\infty }_{0} r\;\left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{2}dr=4\pi \int^{\infty }_{0} \left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{3}dr$

حيث:

$\left |\psi_{100} \right |^{2}=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3}e^{-2r/a_{0}}$

إذاً ...

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{4\pi}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3} \int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr$

ولكن ... من دالة جااااااااااما، نجد أن:

$\int^{\infty }_{0} x^{n}\;e^{-ax}\;dx= \frac{n!}{a^{n+1}}$

وعليه:

$\int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr=\frac{3!}{(2/a_{0})^{4}}=\frac{3}{8}\;a_{0}^{4}$

والآن ... نجد أن:

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{3}{2}\;a_{0}$

وهو المطلوب إثباته ...

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !