القيم المتوقعة

رجب مصطفى · #1 20-01-2011, 00:59

من المعروف أن القيمة المتوقعة لنصف القطر تُعطى من المعادلة:

$\left \langle r \right \rangle = \int \psi^{\ast}_{nlm} \;\hat{r} \;\psi_{nlm}\;dv$

وللحالة الأرضية ... تأخذ الدالة الموجية الصورة:

$\psi_{nlm}= \psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3/2} e^{-r/a_{0}}$

وحيث أن عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية القطبية يأخذ الصورة:

$dv\equiv d^{3}r=r^{2}dr\;\sin \theta \; d\theta \;d\phi$

ونظراً للتماثل الكروي في هذه الحالة (الأرضية)، فإنه يأخذ الصورة:

$dv=4 \pi \;r^{2}dr$

وذلك بعد تكامل الجزء الزاوي !!!

نعود لمعادلتنا الأصلية ... والتي ستُصبح:

$\left \langle r \right \rangle =4\pi \int^{\infty }_{0} r\;\left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{2}dr=4\pi \int^{\infty }_{0} \left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{3}dr$

حيث:

$\left |\psi_{100} \right |^{2}=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3}e^{-2r/a_{0}}$

إذاً ...

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{4\pi}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3} \int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr$

ولكن ... من دالة جااااااااااما، نجد أن:

$\int^{\infty }_{0} x^{n}\;e^{-ax}\;dx= \frac{n!}{a^{n+1}}$

وعليه:

$\int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr=\frac{3!}{(2/a_{0})^{4}}=\frac{3}{8}\;a_{0}^{4}$

والآن ... نجد أن:

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{3}{2}\;a_{0}$

وهو المطلوب إثباته ...

مفاهيم · #2 20-01-2011, 01:10

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة رجب مصطفى

من المعروف أن القيمة المتوقعة لنصف القطر تُعطى من المعادلة:

$\left \langle r \right \rangle = \int \psi^{\ast}_{nlm} \;\hat{r} \;\psi_{nlm}\;dv$

وللحالة الأرضية ... تأخذ الدالة الموجية الصورة:

$\psi_{nlm}= \psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3/2} e^{-r/a_{0}}$

وحيث أن عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية القطبية يأخذ الصورة:

$dv\equiv d^{3}r=r^{2}dr\;\sin \theta \; d\theta \;d\phi$

ونظراً للتماثل الكروي في هذه الحالة (الأرضية)، فإنه يأخذ الصورة:

$dv=4 \pi \;r^{2}dr$

وذلك بعد تكامل الجزء الزاوي !!!

نعود لمعادلتنا الأصلية ... والتي ستُصبح:

$\left \langle r \right \rangle =4\pi \int^{\infty }_{0} r\;\left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{2}dr=4\pi \int^{\infty }_{0} \left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{3}dr$

حيث:

$\left |\psi_{100} \right |^{2}=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3}e^{-2r/a_{0}}$

إذاً ...

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{4\pi}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3} \int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr$

ولكن ... من دالة جااااااااااما، نجد أن:

$\int^{\infty }_{0} x^{n}\;e^{-ax}\;dx= \frac{n!}{a^{n+1}}$

وعليه:

$\int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr=\frac{3!}{(2/a_{0})^{4}}=\frac{3}{8}\;a_{0}^{4}$

والآن ... نجد أن:

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{3}{2}\;a_{0}$

وهو المطلوب إثباته ...

مـمكن توضحيلي شرررح اكثر اني مش مررة فاهمة......<<اقصد الدوال من فين جبناها

رجب مصطفى · #3 20-01-2011, 01:14

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مفاهيم

اقصد الدوال من فين جبناها

الدوال الموجية للهيدروجين والذرات الشبيهه موجودة في كل الكتب المتخصصة ... ولقد وضعت رابط في مشاركة سابقة يُبين موقع يستعرض هذه الدوال !

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !