سؤال تحدي <<< صعب جدا

الصادق · #21 10-04-2010, 22:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

السلام عليكم،،

طبعا السؤال ربما مر على البعض من خلال الاولمبياد لاحد الجامعات،،

ما يميز السؤال أنه ليس له طريقة حل عامة تصلح لحل كل الاسئلة وانما يتطلب " احتيالا " نوعا ما،،

ربما يكون حله بالتحليل الرياضي ابسط وهذا ما رأيته في بعض المنتديات ولكن المجال مفتوح هنا لجميع الحلول بالتحليل او بدونه.

السؤال :

أوجد جميع الدوال $\150dpi f:R\rightarrow R$ التي تحقق المعادلة التالية لجميع قيم x و y :

$\150dpi yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2)$

بالتوفيق :a_plain111:

اخي الكريم مهند
هذه هي محاولتي للحل
$\\ \rm yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2)\\ \\ \rm divide \; both \; sides \;by\; 2xy\\ \\ \frac{f(2x)}{2x}-\frac{f(2y)}{2y}=(2x)^2-(2y)^2\\ \\ replace \; 2x \; by \; x\; and \; 2y \; by \; y \\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=\frac{f(y)}{y}-y^2 \\ \\ \rm for\; x\neq y, \; the \;equality\; will\; hold \; true \; if\; and\; only\; if \; both\; sides\; of\; the\; last\; equation\; are\; \; equal\; to\; a\; constant\\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=C;\qquad \rm where \; C \; is \; a \; real\; constant\\ \\ \Rightarrow \boxed{f(x)=Cx+x^3}$

اذن فان هناك عدد لانهائي من الدول تعتمد على اختيار الثابت C

هذا و الله اعلم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !