مساعدة رياضية

مهند الزهراني · #11 07-07-2010, 11:40

كمثال على الجمع التلسكوبي نأخذ أبسط مسألة في هذا الموضوع ،،

افرض أنك تريد ايجاد المجموع التالي

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}$

هل ستوجده بالحساب اليدوي مثلا ؟ بالحاسبة ؟ كلها بتطلع منها بدون نتيجة بالنهاية ،،،

أولا تعال ولنحلل الكسر الموجود بالسؤال الى ما يدعى بالكسور الجزئية (partial fraction)

$\150dpi \frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

في هذا المثال الوضع بسيط ولا يحتاج لاستخدام طرق التحليل المتبعة والتي تستهلك وقتا ،،

الان دعنا لنستخدم خواص رمز المجموع

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}=\sum_{n=1}^{100}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}$

الآن ستلاحظ شيئا غريبا !!!

ستختفي كل الحدود ماعدا الحد الاول من المجموع الاول والحد الاخير من المجموع الثاني

$\150dpi \sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}=\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100} \right )-\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101} \right )=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$

هذه هي الفكرة الرئيسية وراء الجمع التلسكوبي ...

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !