Titu Lemma

مهند الزهراني · #1 18-08-2010, 18:23

بسم الله الرحمن الرحيم ...

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

ربما جوع ما قبل الافطار اوقد بذهني فكرة هذا الموضوع :laughter01:

عموما ما يعرف بتمهيدية تيتو او حقيقة تيتو $\150dpi T_2 \ \textrm{Lemma}$ ليست سوى شكل آخر عملي جدا من متباينة كوشي - شوارتز ، ويعود الفضل لتيتو في ابراز أهمية تلك المتباينة وهذا في كتابه $\150dpi Mathematicl \ Olympiad \ Treasures$ ، علما بأن هذا المسمى لم يكن موجودا بالكتب القديمة...

.................................................. .....................................

رياضيا ، متباينة كوشي - بنجاكوفسكي - شوارتز هي تنص على أنه للأعداد الحقيقة $\150dpi a_1,a_2,...,a_n \ \ \ \ b_1,b_2,...,b_n$ فان المتباينة التالية متحققة دائما

$\150dpi \left ( a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right )\left ( b_1^2+b_2^2+...+b_n^2 \right )\geq \left ( a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \right )^2$

الآن لنختر التعويض التالي

$\150dpi a_i=\frac{x_i}{y_i},b_i=y_i$

ومنه تصبح المتباينة

$\150dpi \left ( \frac{x_1^2}{y_1^2}+\frac{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2} \right )\left ( y_1^2+y_2^2+...+y_n^2 \right )\geq \left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^2$

وبقسمة الطرفين على $\150dpi y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$ لا تتغير اشارة المتباينة لأن المقدار موجب وبالتالي تصبح المتباينة

$\150dpi \left ( \frac{x_1^2}{y_1^2}+\frac{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2} \right )\geq \frac{\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^2}{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2} \ \left ( T_2 \ \textrm{Lemma}\right )$

وهي الصورة النهائية لحقيقة تيتو ...

مع مراعاة أنه يشترط ان تكون الاعداد بالمقام موجبة ...

وربما نلتقي مرة أخرى مع تمارين على الموضوع ...

ودمتم ،،،

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !