القيم المتوقعة

رجب مصطفى · #22 20-01-2011, 00:59

من المعروف أن القيمة المتوقعة لنصف القطر تُعطى من المعادلة:

$\left \langle r \right \rangle = \int \psi^{\ast}_{nlm} \;\hat{r} \;\psi_{nlm}\;dv$

وللحالة الأرضية ... تأخذ الدالة الموجية الصورة:

$\psi_{nlm}= \psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3/2} e^{-r/a_{0}}$

وحيث أن عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية القطبية يأخذ الصورة:

$dv\equiv d^{3}r=r^{2}dr\;\sin \theta \; d\theta \;d\phi$

ونظراً للتماثل الكروي في هذه الحالة (الأرضية)، فإنه يأخذ الصورة:

$dv=4 \pi \;r^{2}dr$

وذلك بعد تكامل الجزء الزاوي !!!

نعود لمعادلتنا الأصلية ... والتي ستُصبح:

$\left \langle r \right \rangle =4\pi \int^{\infty }_{0} r\;\left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{2}dr=4\pi \int^{\infty }_{0} \left |\psi_{100} \right |^{2} \;r^{3}dr$

حيث:

$\left |\psi_{100} \right |^{2}=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3}e^{-2r/a_{0}}$

إذاً ...

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{4\pi}{\pi}\left ( \frac{1}{a_{0}} \right )^{3} \int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr$

ولكن ... من دالة جااااااااااما، نجد أن:

$\int^{\infty }_{0} x^{n}\;e^{-ax}\;dx= \frac{n!}{a^{n+1}}$

وعليه:

$\int^{\infty }_{0} r^{3}\;e^{-2r/a_{0}}\;dr=\frac{3!}{(2/a_{0})^{4}}=\frac{3}{8}\;a_{0}^{4}$

والآن ... نجد أن:

$\left \langle r \right \rangle_{100} =\frac{3}{2}\;a_{0}$

وهو المطلوب إثباته ...

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !