spin observable

الصادق · #1 15-03-2010, 19:30

أرجو أيضا أن اعلم ما المقصود فيزيائيا هنا بحالة الاستقطاب و عدم الاستقطاب

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

تغريـد · #2 16-03-2010, 01:17

يارك الله فيك أخي الكريم و جزاك خير الجزاء

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

أخي الكريم الصادق
هل هذا يعني أن ما ذكر في الفقرة قبل الأخيرة في صفحة 3339 غير صحيح أم تراني لم استوعب ما كتب جيد و كانت بالتالي ترجمتي له خاطئة

في الحقيقة كان ذلك القول مقنعا بالنسبة لي طالما كنا نتحدث عن نظام فيه عدد كبير من الجسيمات للفها المغزلي اتجاهات متباينة فكان من السهل التصور أن النتيجة للنظام ككل أن لا اتجاه للجميع

و لكن إذا كان الوصف لجسيم مفرد فمن المقنع أن يكون لا معني للجمع بين اتجاهين في نفس الوقت
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

الصادق · #3 16-03-2010, 01:51

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

يارك الله فيك أخي الكريم و جزاك خير الجزاء

أخي الكريم الصادق
هل هذا يعني أن ما ذكر في الفقرة قبل الأخيرة في صفحة 3339 غير صحيح أم تراني لم استوعب ما كتب جيد و كانت بالتالي ترجمتي له خاطئة

في الحقيقة كان ذلك القول مقنعا بالنسبة لي طالما كنا نتحدث عن نظام فيه عدد كبير من الجسيمات للفها المغزلي اتجاهات متباينة فكان من السهل التصور أن النتيجة للنظام ككل أن لا اتجاه للجميع

و لكن إذا كان الوصف لجسيم مفرد فمن المقنع أن يكون لا معني للجمع بين اتجاهين في نفس الوقت
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

هل تقصدين الفقرة التالية:

To visualize some aspects of the canonical classical extension of quantum mechanics, consider the description of the spin-;. The convex set SQ can be viewed as a unit sphere in three dimensions (see, e.g., [20]): any two diametrically opposed points on the surface represent the ‘up’ and ‘down‘ polarization (pure) states along some direction in ordinary space. The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent: for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state, but the choice of the axis is completely arbitrary, so that the (degenerate) density operator of the unpolarized state admits infinitely many convex decompositions into pure states.

تغريـد · #4 16-03-2010, 08:01

اعذرني أخي الكريم أني لم أستطع المتابعة مباشرة

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

هل تقصدين الفقرة التالية:

To visualize some aspects of the canonical classical extension of quantum mechanics, consider the description of the spin-;. The convex set SQ can be viewed as a unit sphere in three dimensions (see, e.g., [20]): any two diametrically opposed points on the surface represent the ‘up’ and ‘down‘ polarization (pure) states along some direction in ordinary space. The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent: for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state, but the choice of the axis is completely arbitrary, so that the (degenerate) density operator of the unpolarized state admits infinitely many convex decompositions into pure states.

نعم أخي الكريم ما قصدته بالضبط هو الجملة

"
The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent:
for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state
"

بارك الله فيك أخي الكريم و جزاك كل خير

تغريـد · #5 16-03-2010, 16:15

أرجو أن تعذرني أخي الكريم الصادق جزاك الله كل خير
أعتقد أني قد فهمت أين الخطأ في فهمي للعبارة
فمن توضيحك في المشاركة 13
بالإضافة إلى قول الباحثين في في معرض حديثهما ص 3341
the probability measure concentrated, with equal weights
وجدت أن
الخطأ أني ترجمت حالة عدم الاستقطاب على أن حالة تركيبة خطية من متجهات الحالة في اتجاه كل من x,y,z

و لكنه كان يقصد أنها تركيبة خطية من
الاحتمالات المقابلة لاتخاذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه أي متجه r.

و الله تعالى أعلم

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !