" المسابقة الرياضية الكبرى "

Weierstrass-Casorati · #16 13-09-2010, 19:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !