لنتدرب معا للأولمبياد

Siddigss · #1 22-03-2011, 21:22

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته !!

ما شاء الله تبارك الله !!
موضوع جميل جدا

جزاك الله خيرا أخي مهند وجزى الله الجميع !!
هذا إثباتي والله أعلم

$a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-4abcd+2a^2b^2+2d^2c^2\\=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(\sqrt{2}ab-\sqrt{2}dc)^2$

إذاً : الناتج موجب !!
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\geq abcd$

باستبدال الأعداد بجذورها الرابعة !!
$\frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}$

إن شاء الله صحيح !!

أنتظر تصحيحك أخي

مهند الزهراني · #2 23-03-2011, 15:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Siddigss

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته !!

ما شاء الله تبارك الله !!
موضوع جميل جدا

جزاك الله خيرا أخي مهند وجزى الله الجميع !!
هذا إثباتي والله أعلم

$a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-4abcd+2a^2b^2+2d^2c^2\\=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(\sqrt{2}ab-\sqrt{2}dc)^2$

إذاً : الناتج موجب !!
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\geq abcd$

باستبدال الأعداد بجذورها الرابعة !!
$\frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}$

إن شاء الله صحيح !!

أنتظر تصحيحك أخي

جميل جدا لكنه أكثر تعقيدا من اللي ببالي

فكرة اثباتي بسيطة جدا وهي كالتالي

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

وبالتالي

$\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2} \right )\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{cd} \right )\geq \sqrt[4]{abcd}$

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !