التعريف الدقيق للنهاية - تعريف كوشي

مهند الزهراني · #1 25-03-2011, 11:31

- ملاحظة :

لإثبات أن $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ يتوجب علينا عمل الآتي :

(أ) - نفرض أن لدينا قيمة صغيرة موجبة $\varepsilon$

(ب)- نوجد قيمة صغيرة موجبة $\delta$ تعتمد على $\varepsilon$

(ج)- نثبت أنه

$if \ \left |x-c \right |< \delta\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon$

مثال (1) :-

- أثبت أن $\lim_{x\rightarrow 4}(3x-7)=5$

الحل :-

أولا : التحليل المبدئي :

نفرض أن لدينا قيمة صغيرة موجبة $\varepsilon$ ، المطلوب ايجاد $\delta$ بحيث تحقق أن

$\left|x-4\right|<\delta \Rightarrow \left|(3x-7)-5\right|<\varepsilon$

الآن لايجاد قيمة $\delta$ نعمل على المتباينة اليمنى كالتالي

$\left|(3x-7)-5\right|<\varepsilon\Leftrightarrow \left|3x-12|<\varepsilon \Leftrightarrow |x-4|<\frac{\varepsilon}{3}$

وبالتالي نختار $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$

- ثانيا : الإثبات : -

لتكن $\varepsilon$ قيمة عددية صغيرة معطاة وباختيار $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$ فاننا نجد أنه عندما تكون

$|x-4|<\delta$

فان

$|(3x-7)-5| =|3x-12|=3|x-4|<3\delta =\varepsilon \Rightarrow|(3x-7)-5|<\varepsilon$

وهو المطلوب اثباته ...

الآن أفتح الموضوع وأترك المجالات لاستفساراتكم أو ايضاح نقطة معينة او اضافة مثرية كما اعتدنا منكم

وان شاء الله حسب وقتي هذا الاسبوع بضيف تمارين وأمثلة حسب وقتي .

وأتمنى اقتراحاتكم وتصحيحكم ان أخطأت فلا زلت أعتبر نفسي من المتعلمين الجدد في هذا المجال

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !