[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
اعتذر اخ محمد على التأخير ، ولكن هناك عدة مشاغل .
فى البداية شرودنجر اعتمد على شيئين لإستنتاج معادلته الغير معتمدة على الزمن ، الوصف الكلاسيكى للموجة ( المعادلة الموجية ) ووصف دى برولى للموجة .
فى البداية يمكننا وضع الوصف الكلاسيكى للموجة فى صورة المعادلة الموجية :

اعتبرانها هنا فى بعد واحد لتسهيل الإستنتاج ثم يمكنك بعد ذلك تعميمها الى الثلاثة ابعاد .
دعنا نفترض ان الدالة الموجية Ψ تكتب على الصورة :

وحينها تصبح المعادلة الموجية على الصورة :

وبوضع المعادلة فى صورة أفضل :

وبما اننا مهتمون بالمعادلة الغير المعتمدة على الزمن ، سنتعامل فى استنتاجنا مع الدالة ψ ، وسنهمل ζ إلا إذا اردت استنتاج المعادلة المعتمدة على الزمن .
نرى فى المعادلة السابقة ان هناك معادلاتان تفاضليتان إحداهما لدالة فى المكان والأخرى لدالة فى الزمن ، وهذان لا يمكن ان يتساويا إلا إذا ساويا ثابت ما .
هذه الثابت نحدده من هدف المعادلة . هدف المعادلة هو ان نحصل على موجة معنى ذلك ان الدالة ψ يجب ان تضمن لنا تذبذبا ً ، اى تكون ψ دالة مثلثية .
ولتحقيق هذا يجب ان يكون الثابت عبارة عن سالب مقدار موجب لنضمن دائما ً انه سالب .
وعلى ذلك يكون :

وبحل هذه المعادلة نحصل على الحلول الخاصة :

حيث N هو معامل التوحيد والذى يجعل الدالة موحدة Normalized ، وبما اننا فى دراسة لموجة فيمكننا ان نقول ان قيمة x عند نقطة تساوى قيمتها عند x + λ حيث λ هى الطول الموجى ، إذن :

وليتحقق هذا الشرط يجب ان تمثل κλ دورة كاملة ، اى يجب ان يكون :

عرف دى برولى الطول الموجى على انه يعتمد على كمية حركة الجسيم ، وبذلك دمج الطبيعة الجسيمية والموجية فى شئ واحد من خلال المعادلة :

وبالتعويض بقيمة الطول الموجى فى المعادلة κλ = 2π نحصل على :

وبالرجوع الى المعادلة التفاضلية والتعويض بقيمة κ نحصل على :

وهذه هى معادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن فى حالة جسيم حر ( لا يوجد جهد ) ، ويمكنك بعد ذلك تعميمها لحالة بها جهد و فى ثلاثة ابعاد لتصبح على الصورة :

والله اعلى واعلم
والسلام .