[عاهد ابراهيم]

[grade="00008B FF6347 008000 4B0082"]الحركة في جهد مركزي متناظر (متماثل)كرويا
(حل معادلة شرودينجر لأشباه ذرة الهيدروجين في الإحداثيات الكروية)
Particles in spherical symmetric potential fields and the hydrogen atom.
1. مؤثر اللابلاسيانthe Laplacian) )في الإحداثيات الكروية
2. معادلة شرودينجر في الإحداثيات الكروية
3. ذرة الهيدروجين
4. نتائج حلول معادلة شرودينجر


1. مؤثر اللابلاسيان في الإحداثيات الكروية:
المشكلة الأساسية في حلول معادلة شرودينجر تكمن في التعامل مع اللابلاسيان في الإحداثيات المتعددة(الديكارتية،الكروية،الاسطوانية،......) :


وللتعامل مع كافة الإحداثيات فإنني سأعرض بشكل موجز استنتاج اللابلاسيان في الإحداثيات المعممة في جملة إحداثيات متعامدة من الشكل(q1,q2,q3,…….) وذلك بدلا من (x,y,z) أو (r,θ,∅) ،يعبر عن متجهة الموضع في الإحداثيات الجديدة كما يلي:

وفي جملة الإحداثيات الديكارتية لدينا:

وباعتبار متجهات الوحدة ثابتة نجد:

والقيمة الجبرية للمتجهة (4) تساوي إلى:

يدعى المقدار Hi عوامل لامي (Lami factors)، وبإدخال متجهة الوحدة للإحداثيات المعممة نجد أن:

حيث يمثل عنصر طول ،وهذا يعني أن الحجم العنصري يعطى بالعلاقة التالية:

وكما نعلم فان عنصر الحجم في الإحداثيات الكروية يعطى بالعلاقة:

أما معاملات لامي H1, H2, H3 فنحصل عليها بتطبيق العلاقة (5) وفق ثلاث مجموعات هي كما يلي:

ومنه نوجد معامل لامي الأول H1 من العلاقة (5) كما يلي:

لا ننسى أن:


معامل لامي الثاني H2 في الإحداثيات الكروية:


ومعامل لامي الثالث 3H في الإحداثيات الكروية:


من العلاقات(7،8،10،11،12) نستنتج أن:


الشكل (1) يبين الإحداثيات المنحنية المتعامدة المعممة وفق الشرح أعلاه.


والآن يعطى اللابلاسيان في أي إحداثي ترغبه وفق العلاقة العامة التالية :


ومنه وفق العلاقة (14) نحصل على اللابلاسيان في الإحداثيات الكروية وفق معطيات المعادلات السابقة فنجد :


• تمرين :استنتج اللابلاسيان في الإحداثيات الديكارتية والاسطوانية باستعمال العلاقة (14).
علما أن الإحداثيات الاسطوانية في الإحداثيات الديكارتية هي:



2. معادلة شرودينجر في الإحداثيات الكروية:
نعوض العلاقة (15) في العلاقة (1) فنجد:



المعادلة (16) تمثل معادلة شرودينجر في الإحداثيات الكروية (النظام المتماثل كرويا)
يوجد في العلاقة (16) مؤثر كمية الحركة الزاوية والذي تمت معالجته في الفقرة السابقة ،ويتبين من أقواس التبادل أن مؤثر الهاملتوني يتبادل مع مؤثر كمية الحركة الزاوية وهذا يعني أن لهما نفس الدالة المميزة(المسموحة) ، وبتطبيق هذا التعليق رياضيا نجد:

بتعويض العلاقات (17) في العلاقة (16) نجد:

العلاقة (18) دالة إلى الدالة R(r) فقط ويمكن اختزال بقية الدوال منها وتصبح المعادلة على الشكل التالي:

والمطلوب حل المعادلة التفاضلية (19) بعد معرفة طاقة الوضع U(r).
3. ذرة الهيدروجين:
لدراسة سويات الطاقة في أشباه ذرة الهيدروجين نستخدم معادلة القيم المميزة(المسموحة) (19) مع ملاحظة أن أن طاقة الوضع (الكاقة الكامنة الكولومية) لأشباه ذرة الهيدروجين تعطى بالعلاقة التالية:

حيث ze شحنة النواة ،تصبح المعادلة (19) عندئذ :

لحل هذه المعادلة التفاضلية يلزمنا بعض الرياضيات المعقدة ،وما يهمنا هو النتيجة البالغة الاهمية ،ولذا ساستعرض الخطوات الاساسية اللازمة والطريقة المتبعة لمعالجة العلاقة (20).
بما أن الجملة تملك طاقة سالبة نفرض أن:


نعوض (21) في (20) واعاد ترتيبها نجد:

الحل العام للمعدلة (22) يكون من الشكل :


حيث s عدد موجب يتعلق بالعدد الكمي لكمية الحركة الزاوية،بتبديل العلاقة (23) في (22) نحصل عل حلول معقدة يتدخل فيها كثير حدد لاغير(Laguerre) المرافق ونتيجة الحلول تفرض أن:

يسمى n العدد الكمي الرئيسي(الاساسي) ، وبالعودة الى العلاقات (21) نحصل على القيم المسموحة للطاقة :


تبين العلاقات (25) أن مستويات الطاقة تتناسب عكسا مع مربع العدد الكمي الرئيس وهي تتوافق مع طاقة بور لذرة الهيدروجين والدالة المسموحة التي تصف حالات الطاقة تلك تعطى بالعلاقة التالية:



والدالة الموجية الكلية التي تصف حالة الذرة هي من (17):


وشرط التنظيم (المعايرة) والتعامد يكون:
















وخلاصة الحلول تعطي من خلال الموجز التالي:

Quantum Numbers from Hydrogen Equations
The hydrogen atom solution requires finding solutions to the separated equations which obey the constraints on the wavefunction. The solution to the radial equation can exist only when a constant which arises in the solution is restricted to integer values. This gives the principal quantum number:
نتائج حل القسم القطري ← العدد الكمي الرئيسي


Similarly, a constant arises in the colatitude equation which gives the orbital quantum number:
نتائج حل القسم الزاوي(القطبي) ← العدد الكمي المداري
Finally, constraints on the azimuthal equation give what is called the magnetic quantum number:
نتائج حل القسم ألسمتي ← العدد الكمي المغناطيسي









4. نتائج حلول معادلة شرودينجرالنص مأخوذ من محاضراتي في الفيزياء الحديثة2 على الموقع الالكتروني: موقع الدكتور محمد الجلالي التعليمي.) http://maljalali.jeeran.com
البنية الالكترونية للذرة
Electronic Structure Of Atom



المحتوى:
• مقدمة
• الأعداد الكمية المعتمدة في بناء الذرة
• مبدأ باولي ومبدأ هوند
• بناء الذرة بالالكترونات
• البناء الكلي للذرة بالالكترونات
• نص انجليزي(مبدأ باولي)

1. مقدمة:
تتوضع الإلكترونات حول النواة وفق مستويات طاقة محددة ،تسمى عادة المدارات أو الطبقات الذرية (orbitals) التي يمكن اعتبارها سلسلة من كرات لها مركزا واحدا(الغازات النادرة) كل كرة يمكن أن تحوي عددا أعظميا محددا من الالكترونات، ترقم مستويات الطاقة اعتبارا من أقرب مستوي للنواة ،الاستيعاب العددي لكل مستوي طاقة تحكمه نتائج حلول معادلة شرودينجر في ميكانيكا الكم ،ونحن هنا بصدد نتائج ميكانيكا الكم للتوزيع الالكتروني حول نواة الذرة بشكل بسيط جدا.
2. الإعداد الكمية المعتمدة في بناء الذرة:
• العدد الكمي الرئيس n=1,2,3,……..7 ويمثل مستويات الطاقة الأساسية بدون أية انشطار ،وتسمى المستويات في هذا الوضع بالمستويات المنطبقة(degeneracy ) .
• العدد الكمي المداري(الثانوي) ويمثل مستويات الطاقة الفرعية والمتفرعة من المستويات الأساسية ،وتصبح مستويات الطاقة الأساسية هنا منشطرة(متفرعة) وتوصف المستويات في هذه الحالة بأنها لا منطبقة(nondegeneracy).وفي الذرية والأطياف توصف الأرقام الكمية السابقة للعدد الكمي المداري بأحرف انجليزية صغيرة أي:
ويجب الانتباه هنا إلى عدم الخلط بين الأرقام والرموز(الأحرف).
• العدد الكمي المغناطيسي المداري وهو شرط آخر لانشطار كل حالة من حالات العدد الكمي المداري وبالتالي إلى زيادة عدد التفرعات للمستوي الأصلي.
• العدد الكمي المغناطيسي السبيني يشطر كل حالة من حالات العدد الكمي المغناطيسي المداري إلى مستويين طاقيين
3. مبدأ باولي ومبدأ هوند:
لن ندخل في تفاصيل المبدأين وقد وردا هنا من أجل التطبيق المباشر لبناء الذرة بالإلكترونات يقول مبدأ باولي أنه لا يمكن لإلكترونين في الذرة أن يملكا نفس الإعداد الكمية فإذا اتفقا في العدد الكمي الرئيس اختلفا في العدد الكمي المداري، وإذا اتفقا في العدد الكمي المداري اختلفا بالعدد الكمي المغناطيسي المداري، وإذا اتفقا بالعدد الكمي المغناطيسي المداري اختلفا بالعدد الكمي المغناطيسي الذاتي، ومبدأ هوند يؤكد على أن توزع الالكترونات على مستويات الطاقة يكون بأكبر عزم مغناطيسي ذاتي وبمعنى آخر بأكبر سبين (مثلا الحالة p تستوعب ست الكترونات فلو كان لدينا ثلاثة الكترونات فان كل منها يأخذ (ms=+½)الموجب وبعدها الإلكترون الرابع حتى السادس يأخذ (ms=-½) السالب).
4. بناء الذرة بالالكترونات: للتبسيط نبدأ ببناء كل مستوي أساسي على حده وكما يلي:
• مستوي الطاقة الأول ويسمى عادة بالمستوي K وفيه:
a) n=1
b)
c)
d)
e) يوجد هنا مستويي طاقة حسب العدد الكمي المغناطيسي وبالتالي يكون الاستيعاب الأعظمي للالكترونات حسب مبدأ باولي في هذا المسوي إلكترونان.
f) يأخذ هذا المستوي الترميز التالي للتوزيع الالكتروني ويعني إننا في المستوي الرئيس الأول والحالة المدارية s حيث العدد الكمي المداري يساوي الصفر ، والأس 2 يعني الاستيعاب الأعظمي للالكترونات وهو وصف كامل ودقيق لوضع الإلكترون الطاقي في الذرة.
• مستوي الطاقة الثاني ويسمى بالمستوي L وفيه:
a) n=2
b)
c)
d) كل حالة من الحالات السابقة (c)تنشطر إلى حالتين وفق العدد الكمي المغناطيسي السبيني .
e) وفقا للبندين (c) و (d) يكون عدد الحالات المنشطرة من الحالة الأساسية ثمانية وعدد مستويات الطاقة الجاهزة لاستقبال الالكترونات حسب مبدأ باولي ثمانية.
f) التوزيع الالكتروني لهذا المستوي له الشكل التالي لاحظ ظهور المدار s .
• مستوي الطاقة الثالث ويسمى بالمستوي M وفيه:
a) n=3
b)
c)
d) كل حالة من الحالات السابقة (c)تنشطر إلى حالتين وفق العدد الكمي المغناطيسي السبيني .
e) وفقا للبندين (c) و (d) يكون عدد الحالات المنشطرة من الحالة الأساسية ثمانية عشر وعدد مستويات الطاقة الجاهزة لاستقبال الالكترونات حسب مبدأ باولي ثمانية عشر.
f) التوزيع الالكتروني لهذا المستوي له الشكل التالي
• مستوي الطاقة الرابع ويسمى بالمستوي N وفيه:
a) n=4
b)
c)
d) لكل حالة من الحالات السابقة (c)تنشطر إلى حالتين وفق العدد الكمي المغناطيسي السبيني .
e) وفقا للبندين (c) و (d) يكون عدد الحالات المنشطرة من الحالة الأساسية اثنان وثلاثون وعدد مستويات الطاقة الجاهزة لاستقبال الالكترونات حسب مبدأ باولي اثنا وثلاثون.
f) التوزيع الالكتروني لهذا المستوي له الشكل التالي
• وهكذا بالنسبة لبقية الحالات والجدول (1) يوضح كافة الحالات.

رمز الطبقة عدد الالكترونات الكلي في الطبقة








n
K 2 1
1
L 8 2
2
2
M 18 3
3
3
3
N 32 4
4
4
4
4
O 50 5
5
5
5
5
5
P 72 6
6
6
6
6
6
6
Q 98





7
7
الجدول (1) : جدول تفصيلي لكافة حالات الامتلاء لمستويات الطاقة الفرعية

5. البناء الكلي للذرة بالالكترونات:
يبين الشكل(1) الكثافة الالكترونية لتوضع الالكترونات وفقا لمفهوم مستويات الطاقة. والشكل (2) امتلاء مستويات الطاقة النظامي حتى الحالة 3p ،ولكن لاعتبارات لن نذكرها هنا فان مستويات الطاقة الأعلى تشذ عن قاعدة الامتلاء النظامي فالحالة 3d لن تمتلئ إلا بعد امتلاء الحالة 4s ،أي أن هناك بعض المستويات العليا تتداخل لتأخذ مواضع أدنى من مكانها الطبيعي الشكل(3) .







ونظرا لصعوبة حفظ التوزيع الالكتروني للمبتدئين والخاضع لحالات الشذوذ السابقة فقد وضع الفيزيائيون والكيميائيون عدة مخططات ترشد الطالب لعملية التوزيع الالكتروني على مستويات الطاقة وقد اخترت المخطط المبين في الشكل (4) نظرا لسهولته في الإرشاد لملئ مستويات الطاقة ومن ثم كتابة التوزيع الالكتروني للذرة مهما كان عدد الالكترونات.




تدرب واكتب التوزيع الالكتروني للذرات التي عدد الكتروناتها 15،20،27،38،55،70،90.....الخ وفق المخطط في الشكل (4). الشكل (5) يبين الجدول الدوري حيث ترتبت فيه العناصر وفق التوزيع الالكتروني الذي سبق شرحه.

6. نص انجليزي:

Pauli Exclusion Principle
No two electrons in an atom can have identical quantum numbers. This is an example of a general principle which applies not only to electrons but also to other particles of half-integer spin (fermions). It does not apply to particles of integer spin (bosons).
The nature of the Pauli exclusion principle can be illustrated by supposing that electrons 1 and 2 are in states a and b respectively. The wavefunction for the two electron system would be


but this wavefunction is unacceptable because the electrons are identical and indistinguishable. To account for this we must use a linear combination of the two possibilities since the determination of which electron is in which state is not possible to determine.
The wavefunction for the state in which both states "a" and "b" are occupied by the electrons can be written

The Pauli exclusion principle is part of one of our most basic observations of nature: particles of half-integer spin must have antisymmetric wavefunctions, and particles of integer spin must have symmetric wavefunctions. The minus sign in the above relationship forces the wavefunction to vanish identically if both states are "a" or "b", implying that it is impossible for both electrons to occupy the same state.








Pauli Exclusion Principle Applications
Click on any of the bold text for links to further details.
[/grade]انا باسف لعدم وجود المحرر اخوكم عاهد من فلسطين

[عاهد ابراهيم]

[grade="8B0000 FF0000 FF7F50"]انشاء الله ياخوان سقوم بوضع الجزء المفقود من النص
على الورود او pdf
انشاء الله في الايام القلية الجاية
شـكــ وبارك الله فيكم
اخوكم عاهد ابراهيم من فلسطين [/grade]

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى عاهد

نحن ننتظر