spin observable

تغريـد · #1 13-03-2010, 01:52

عذرا في في آخر سطرين في المشاركة الأولى المقصود حالة عدم الاستقطاب و ليس الاستقطاب هي التي يمكن تمثيلها كتركيبة خطية بعدد كبير جدا من الطرق

أرجو أيضا أن اعلم ما المقصود فيزيائيا هنا بحالة الاستقطاب و عدم الاستقطاب

تغريـد · #2 14-03-2010, 00:38

كخطوة أولى بعد بعض البحث في الشبكة وجدت أن

$\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

و أن

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z$

هي المؤثرات المتعلقة ب spin observables في هذه الحالة

و لكن كيف يتم التعامل معها و الاستفادة منها

الصادق · #3 15-03-2010, 15:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

كخطوة أولى بعد بعض البحث في الشبكة وجدت أن

$\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

و أن

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z$

هي المؤثرات المتعلقة ب spin observables في هذه الحالة

و لكن كيف يتم التعامل معها و الاستفادة منها

يمكن الاستفادة من مصفوفات باولي فى الحصول على مؤثر اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي
فمثلاً يمكن اعتبار مصفوفات باولي على انها مركبات للمتجه $\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ فى الفضاء الخطي
و هكذا فان اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي يُعطى بالضرب القياسي التالي (اسقاط المتجه سيجما فى الاتجاه r)
$\vec{\sigma}.\vec{r}=x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\\ \sigma_r=x\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z &x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}$
وفي نظام الاحداثيات الكروية
$\\x=\sin \theta \cos \phi\\ y=\sin \theta \sin \phi\\ z=\cos\theta$
نحصل على
$\sigma_r=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \cos\phi-i\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\cos\phi+i\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \rm e^{-i\phi} \\ \sin\theta\rm e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix}$
و هذه هي نفس النتيجة التى توصلنا اليها سابقاً و هي تمثل مؤثر اللف المغزلي (اذا ضربناها فى نصف hbar) فى اي اتجاه اعتباطي و التى اطلقنا عليه الاسم S فى المشاركة رقم 8

يمكن ايضاً الاستفادة من مصفوفات باولي لحساب المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z

دعنا نبدأ بالف المغزلي فى اتجاه المحور z :
معادلة القيمة الذاتية $\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle$ حيث لامدا تمثل القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور z .و بالتعويض نحصل على
$\\\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle\\\\ \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}\qquad(1)\\\\ \therefore \left\{\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\right\}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$
ويكون لهذه المنظومة الخطية حلاً اذا تحقق الشرط
$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}=0$
,و عليه فان فان القيم الذاتية هي
$\lambda=\pm 1$
(لاحظي انه يمكن ادخال المعامل $\frac{\hbar}{2}$ لنحصل على قيم ذاتية $\lambda=\pm\frac{\hbar}{2}$ و لكن سوف لن نفعل ذلك تفادياً لاعادة كتابة المعامل فى كل معادلة نكتبها)
الان بعدما حصلنا على القيم الذاتية نعوض فى المعادلة (1) بالقيمة $\lambda= 1$ (الف الى اعلي spin up ) لنحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=0$
اي ان
$\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
و a يمكن ان تأخذ اي قيمة ولكن نسبة لان الدوال الذاتية يجب ان تكون مطبعة فاننا نختار a بحيث يكون للمتجه الذاتي طول يساوي الواحد (وهذا بديهي من الناحية الهندسية لان متجه الحالة هو عبارة عن شعاع فى الكرة التى لها نصف قطر يساوي الوحدة ) و هكذا نجد ان المتجه الذاتي للف مغزلي علوي فى اتجاه المحور z هو
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
اما اذا عوضنا القيمة الذتية $\lambda=- 1$ (الف الى اعلي spin down ) فسوف نحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore a=0$
و شرط التطبيع يقود الى ان b=1 ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه السُفلي spin down هو
$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

و بنفس الطريقة يمكننا حساب المتجهات الذاتية فى اتجاه المحاور x و y وسوف نجد ان القيم الذاتية تساوي $\lambda=\pm 1$

و بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور x
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm a$
و شرط التطبيع يقود الى ان $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

و اخيراًو بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور y
$\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm ia$
اذن فان فان المتجه الذاتي للف المغزلي فى محور y فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$
هذا والله اعلم

تغريـد · #4 15-03-2010, 18:23

و الله أنا يا أخي الكريم الصادق عاجزة عن الشكر
أن تمدني بنسخة إلكترونية للبحث و تفصل ما كان خافيا ولم أكن أدر بالفعل في أي اتجاه أسير
أسأل من الله أن يجزيك خير الجزاء أخي الكريم فهو وحده القادر على ذلك.
----------

أخي الكريم
لي تساؤل حول تمثيل اللف المغزلي بدوران
يبدو أن الدوران كافي عن التعبير عن كل ما يتعلق باللف المغزلي
أعلم أن الدوران في الفضاء الحقيقي يمثل مصفوفة محددها 1 فما هي شروط الدوران في الفضاء المركب؟
.----------

و في نفس الوقت ما اتخيله للمسألة أن لدينا عدد كبير جدا من الجسيمات لكل منها لها لف مغزلي 0.5 (هذه خاصية للجسيم )
و لكن هناك اتجاه للف المغزلي(أو خاصية يمكن تمثيلها رياضيا بدوران)
يتأثر من خلاله بالوسط المحيط،
و أن تعريض النظام لقوة ما يؤدي إلى استقطاب الجسيمات و تغيير اتجاه اللف المغزلي إن صح التعبير
و لكن ؟؟ الدوران يكون لكل نقاط النظام بحيث تتنتقل النقطة وبالتالي الجسيم من مكان لاخر
في حين مفهومي لاتجاه اللف المغزلي هو تغير اتجاه دوران العنصر حول لنفسه

أم ان النظام (ما سميته بكرة الوحدة )ككل تمثل حالة جسبم واحد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
----------

و اتساءل أيضا بالنسبة للدوران فإن الدوران هنا يكون في الفضاء
و تمثيله بدوران في مستوى مركب ألا يقلل من درجة الحرية للنظام من خلال ربط المستوى xy بعدد مركب واحد
----------

و اسمح لي أخي الكريم أن أتساءل عن mixed state هل ستكون عبارة عن تركيبة خطية من عناصر من pure state و ما هي شروطها كمؤثر
أقصد هل هي self adjoint operator
؟؟؟؟؟؟؟؟؟

أنا آسفة لكثرة الأسئلة و
من ناحية أخرى لو حسبنا متجه الحالة في حالة أن الاتجاه لأسفل فسوف نحصل على

$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi}\\\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$

من الواضح وجود علاقة بينها و بين حالة كون الاتجاه لأعلى فهل هناك تفسير لذلك ؟؟؟

.
.
.
أرجو ألا أثقل عليك و لكني أهتمامي في الأساس منصب على فهم ربط المؤئر في اتجاه y, z
لاني أرجو أن أصل لإعطاء معنى فيزيائي للدوال التي تظهر في آخر صفحة 3340 من البحث
لأن وجود مثل هذا المعنى يعزز كثيرا وجهة نظري التي أسعى لإثباتها في بحثي
فبارك الله فيك أخي الكريم و أفاض عليك من جوده و فضله

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !