إثبات

مهند الزهراني · #1 26-05-2010, 23:38

أولا القوانين الثلاثة المراد برهنتها هي :

$\200dpi K=\frac{1}{2}ab \ sin\theta \ (1)$

$\200dpi K=\frac{a^2sinBsinC}{2sinA} \ (2)$

$\200dpi K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ : s=\frac{a+b+c}{2} \ (3)$

وذلك في المثلث

لبرهان القانون الاخير راح استخدم المثلث

مع مراعاة أن :

$\200dpi \widehat{ADB}=90^o$

البرهان :

بداية نعلم أن مساحة المثلث هي :

$\200dpi A=\frac{1}{2}ha$

ومن نظرية فيثاغورس في المثلث ACD :

$\200dpi x^2=b^2-h^2 \ (1)$

ومن نظرية فيثاغورس في المثلث ABD :

$\200dpi (a-x)^2=c^2-h^2 \ (2)$

من 1 و 2 وبالطرح :

$\200dpi x^2-(a-x)^2=b^2-c^2 \Rightarrow x^2-a^2+2ax-x^2=b^2-c^2\Rightarrow 2ax=x^2+b^2-c^2$

$\200dpi \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \ (1)$

$\200dpi h^2=b^2-\left [ \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \right ]^2$

$\200dpi =\frac{2a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}{4a^2}$

$\200dpi =\frac{((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)}{4a^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c-(a+b))(c+(a-b))}{4a^2}$

$\200dpi h^2=\frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4a^2}\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}$

$\200dpi A=\frac{1}{2}ha=\frac{1}{2}\left ( \frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a} \right )=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

تعبت من هذا الاثبات

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !