[أحمد سعد الدين]

متتابعة حسابية
الحد الأول = 19
الحد الأخير = 95
مجموعها = 1140
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموع 12 حدا الأخيرة منها

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د ، الحد الأخير = ل
أ = 19
ل = 95 = أ + (ن - 1) د = 19 + (ن - 1) د ............... (1)
ج ن = 1140 = ن/2 × [ أ + ل ] = ن/2 × [ 19 + 95 ] = ن/2 × 114
ومنها : ن = 20 ....................................... (2)
بالتعويض فى (1)
ينتج أن : د = 4 ...................................... (3)

المتتابعة : 19 ، 23 ، 27 ، ...... ، 95

مجموع 12 حدا الأخيرة = مجموع المتتابعة حدودها 20 حدا - مجموع 8 حدا الأولى منها
= 1140 - 8/2 × [ 2 × 19 + 7 × 4 ] = 1140 - 264 = 876

أو
12 حدا الأخيرة :
حدها الأول = ح9 فى المتتابعة الحسابية = أ + 8 د = 19 + 8 × 4 = 51
حدها الأخير = ل = 95
وعدد حدوها = 12
مجموعها = 12/2 × [ 51 + 95 ] = 876

[أحمد سعد الدين]

متتابعة هندسية لانهائية
حدها الثانى = 2/3
مجموعها = 8/3
أوجد رتبة الحد الذى قيمته = 1/24

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = ر
أ ر = 2/3 ـــــــــــــــ> أ = 2/(3 ر) ............. (1)
أ/( 1 - ر) = 8/3
بالتعويض من (1)
2/[ 3 ر (1 - ر) = 8/3
4 ر^2 - 4 ر + 1 = 0
ومنها : ر = 1/2 ــــــــ> أ = 4/3
المتتابعة : 4/3 ، 2/3 ، 1/3 ، 1/6 ، 1/12 ، 1/24 ، ......

نفرض أن رتبة الحد الذى قيمته = 1/24 هو ن
1/24 = أ ر^(ن - 1) = 4/3 × (1/2)^(ن - 1)
(1/2)^(ن - 1) = 1/32 = (1/2)^5
ن - 1 = 5 ــــــــــــ> ن = 6
ويكون هو الحد السادس

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة هندسية
ح1 = 32
الحد الأخير = 1/4
مجموع حدودها = 255/4
أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
اثبت أنه يمكن جمع عدد غير متناه من حدودها ، وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الحد الأخير = ل ، الأساس = ر ، عدد الحدود = ن
أ = 32
ل = 1/4 = 32 ر^(ن - 1) ــــ> ر^ن = ر/128
ج(ن) = 255/4 = 32 [ ر^ن - 1 ]/[ر - 1] = 32 [ ر/128 - 1 ]/[ر - 1]
ومنها : ر = 1/2
ل = 1/4 = أ ر(ن - 1) = 32 ر^(ن - 1)
ر^(ن - 1) = 1/128 = (1/2)^7
ن = 8
والمتتابعة : 32 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1 ، 1/2 ، 1/4

حيث : ا ر ا < 1 ــــ> يمكن إيجاد مجموع حدود لامتناهى من المتتابعة الهندسية
= أ/(1 - ر) = 64

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى منها = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13
10/2 × [ 2 أ + 9 د ] = 235
بحل المعاداتين جبريا : ــــــ > أ = 10 ، د = 3
المتتابعة : 10 ، 7 ، 4 ، 1 ، - 2 ، ...

[أحمد سعد الدين]

متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 = 6
ح3 = ح1 + 9
أوجد مجموع 12 حدا الأولى منها ؟

أ ر = 6
أ ر^2 = أ + 9
بحل المعادلتين جبريا
2 ر^2 - 3 ر - 2 = 0
( 2 ر + 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = - 1/2 ....... مرفوض حيث حدود المتتابعة موجبة
ر = 2 ــــــــ> أ = 3

المتتابعة : 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ....

مجموع 12 حدا الأولى = أ(ر^12 - 1)/(ر - 1) = 3 (2^12 - 1) = 12285

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع 7 حدود الأولى = 217
مجموع 6 حدود الأولى = 69
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد أقل عدد من الحدود يمكن أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب

الحد السابع = ح7 = ج7 - ج6 = 217 - 69 = 148 = أ + 6 د .............. (1)
ج6 = 96 = 6/2 × [ 2 أ + 5 د ] ........................ (2)
من (1) ، (2)
أ = - 86
د = 39
المتتابعة :
- 86 ، - 47 ، - 8 ، 31 ، 70 ، 109 ، 148 ، ...

عندما يكون المجموع = 0
0 = ن/2 × [ 2 × - 86 + (ن - 1) × 39 ] ــــ> ن = 5.4
وتكون ن = 5 عندما يكون المجموع سالب

للتحقق :
ج5 = 5/2 × [ 2 × - 86 + 4 × 39 ] = - 40
ج6 = 6/2 × [ 2 × - 86 + 5 × 39 ] = 69

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 8
ح7 + ح10 = 55
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 8
أ + 6 د + أ + 9 د = 2 أ + 15 د = 55
ومنهما :
أ = 5 ، د = 3
المتتابعة : 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ...