[أحمد سعد الدين]

في أي مثلث أ ب جـ

إثبت أن : جا ( أ/2 ) جتا ( ب/2 ) = [ ( ح - ب َ ) / جـ َ ] × جتا ( جـ / 2 )



أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج
أَ = جَ*جاأ/جاج
بَ = جَ*جاب/جاج

جاج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2

جاج/2 = جتا(90 - ج/2) = جتا(أ + ب)/2

ح = 1/2*(أَ + بَ + جَ)
(ح - بَ) = 1/2*( أَ - بَ + جَ )

[(ح - بَ)*جتاج/2] / جَ = [1/2*( أَ - بَ + جَ )/ جَ]*جتاج/2

= 1/2*]*جتاج/2 *[(جَ*جاأ/جاج) - (جَ*جاب/جاج) + جَ]/ جَ]

= 1/2*[(جتاج/2)/جاج] [ جاأ - جاب + جاج ]

= 1/2*[جتاج/2 /(2جاج/2 جتاج/2] [(جاأ - جاب) + جاج]

= 1/2*1/2*(1/جاج/2) * [(2جتا(أ + ب)/2 جا(أ - ب)/2 ) + 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2]

= 1/2*[جا(أ - ب)/2 + جتا(أ + ب)/2 ]

= 1/2*[2جاأ/2 جتاب/2 ] = جاأ/2 جتاب/2