" المسابقة الرياضية الكبرى "

Weierstrass-Casorati · #11 16-08-2010, 23:17

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

وسؤال آخر ...

هل توجد كثيرة حدود بمعاملات صحيحة بحيث تحقق $\150dpi p\left ( 3 \right )=5,p\left ( 1 \right )=2$ ؟

نفرض أن هناك كثيرة حدود تحقق هذا
فيمكن أن نقول
$p(3)=a_n 3^n+a_{n-1} 3^{n-1}+...+a_0=5$

وكذلك
$p(1)=a_n+a_{n-1}+...+a_0=2$

بالطرح
$p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)= 3$

ولكن $3^{n},3^{n-1},3^{n-2},...,3$ أعداد فردية
أي أن $(3^{n}-1),(3^{n-1}-1),(3^{n-2}-1),...,(3-1)$ أعداد زوجية

وبالتالي فإن $p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)$ زوجي أيضا ويقبل القسمة على 2 (لأن المعاملات صحيحة وضرب عدد في عدد زوجي يعطي عدد زوجي، ومجموع أعداد زوجية يعطي عدد زوجي)

ولكن 3 لا تقبل القسمة على 2 وبالتالي الفرض خاطيء ولا توجد كثيرة حدود تحقق المطلوب
أتمنى يكون الحل صح

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !