" المسابقة الرياضية الكبرى " - الصفحة 20

نورة الشريف · #**191** 13-09-2010, 11:11

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

طيب هذا سؤال خصيصا لك ( ابراهيم ممنوع تحط حله أبدا

)

لتكن $\150dpi a,b,c$ أعداد حقيقة ليست بالضرورة أن تكون موجبة و n عدد زوجي فأثبت أن

$\150dpi a^n+b^n+c^n\geq a^{n-1}b+b^{n-1}c+c^{n-1}a$

ملاحظة : لا يوجد هنت ولا " تنحيزة " على قولة اهل الشرقية << ما يقصد أحد

يممممه

ويينك ابراهيم سااعدني :mommy_cut:

.....

ابششششر .. يكون الحل قريباً

"" تنحيزة "":emot30_astonishe:

مهند الزهراني · #**192** 13-09-2010, 11:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

يممممه

ويينك ابراهيم سااعدني :mommy_cut:

.....

ابششششر .. يكون الحل قريباً

"" تنحيزة "":emot30_astonishe:

أنا قلت ما يفهمها الا أهل الشرقية << لا يزعلون علينا بس

بسيطة

[cc=Hint]Use RI Inequality[/cc]

أعتقد صارت مررررررررة واضحة ..

نورة الشريف · #**193** 13-09-2010, 11:30

اي لا يزعلون .. لا ما راح أفتح الهنت .. خل أعرف بنفسي ..

دلع بنوته · #**194** 13-09-2010, 15:06

ملاحظة : لا يوجد هنت ولا " تنحيزة " على قولة اهل الشرقية << ما يقصد أحد

!!
:emot30_astonishe::emot30_astonishe::emot30_astoni she:

وش دراااااك عنها ؟؟
ما توقعتك تعرفها ههههه
وعلى فكرة ترى مصطلح "تنحيزة" مصطلح حسآوي مو شرقآوي ههه
مو كل الشرقية يستخدموا هالمصطلح بس الحسآ فنانين فيه ههههه

نورة
تنحيزة ...يعني تلميحة أو على قولة مهند hint :a_plain111:

مكتشفه · #**195** 13-09-2010, 15:54

عفواً ايش هه الصوره مره حلوه تتهنى فيها

Weierstrass-Casorati · #**196** 13-09-2010, 19:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

مهند الزهراني · #**197** 13-09-2010, 20:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

Weierstrass-Casorati · #**198** 13-09-2010, 22:36

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

يبدو إن عندي مشاكل في النظر فما أشوف الحلول القصيرة بسهولة

لا والله اتعقدت

لكن حلك خطييير ما شاء الله :s_thumbup:

مهند الزهراني · #**199** 14-09-2010, 00:15

على فكرة المتباينة السابقة جات في IMO 95

مهند الزهراني · #**200** 14-09-2010, 00:19

أوجد كل الحلول الصحيحة للمعادلة

$\150dpi 2x^2-6xy+3y^2=-1$

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !