مفاهيم اساسية فى الجبر

الصادق · #5 03-12-2010, 20:58

4- الفضاء الاتجاهي الخطي Linear Vector
Space

الفضاء الاتجاهي الخطي V يتكون من

a- فئة متجهات $v_0, v_1, v_2,...\in V$
b- و حقل $f_1, f_2,...\in F$

مع عمليتان ثنائيتان هما
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي

ويحقق الشروط A و B التالية:

الفرضيات A
A- $(V,+)$ عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع

A1- الاغلاق
$v_i, v_j \in V \quad \Rightarrow v_i+v_i \in V$

A2-خاصية الدمج
$v_i+(v_j+v_k) =(v_i+v_j)+v_k$

A3- وجود محايد جمعي $v_0$
$v_0+v_i=v_i+v_0=v_i$

A4- وجود معكوس
$v_i+(-v_i)=(-v_i)+v_i=v_0$

A5- الخاصية التبادلية:
$v_i+v_j=v_j+v_i$

الفرضيات B
B1-الاغلاق
$f_i\in F ,\; v_j\in V \; \Rightarrow f_iv_j\in F$

B2-خاصية الدمج
$f_i(f_jv_k)=(f_if_j)v_k$

B3-وجود محايد ضربي 1
$1v_i=v_i1=v_i$

B4-الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
$\\f_i(v_j+v_k)=f_iv_j+f_jv_k\\ \\ (f_i+f_j)v_k=f_iv_k+f_jv_k$

مثال (8)
ابسط مثال للمتجه هو "شئ يشير فى اتجاه محدد" مثل
$\mathbf{v}=x^1\rm \mathbf{e}_1+x^2\rm \mathbf{e}_2+x^3\rm \mathbf{e}_3$

مثال (9)
فئة كل الدوال $f(\phi)$ المُعرفة على الدائرة $(0\leq \phi< 2\pi)$

$f(\phi)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_m\rm e^{im\phi}$

حيث m عدداً صحيحاً.
تشكل فضاءاً اتجاهياً

تمرين: برهن ذلك

مثال(10):
فئة كل المصفوفات من النظام mXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات

سؤال: هل الحقول الحقيقية و المركبة و الكواتيريونية تشكل فضاءات اتجاهية ام لا؟

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !