مساعدة رياضية - الصفحة 2

مهند الزهراني · #1 07-07-2010, 11:40

كمثال على الجمع التلسكوبي نأخذ أبسط مسألة في هذا الموضوع ،،

افرض أنك تريد ايجاد المجموع التالي

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}$

هل ستوجده بالحساب اليدوي مثلا ؟ بالحاسبة ؟ كلها بتطلع منها بدون نتيجة بالنهاية ،،،

أولا تعال ولنحلل الكسر الموجود بالسؤال الى ما يدعى بالكسور الجزئية (partial fraction)

$\150dpi \frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

في هذا المثال الوضع بسيط ولا يحتاج لاستخدام طرق التحليل المتبعة والتي تستهلك وقتا ،،

الان دعنا لنستخدم خواص رمز المجموع

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}=\sum_{n=1}^{100}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}$

الآن ستلاحظ شيئا غريبا !!!

ستختفي كل الحدود ماعدا الحد الاول من المجموع الاول والحد الاخير من المجموع الثاني

$\150dpi \sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}=\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100} \right )-\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101} \right )=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$

هذه هي الفكرة الرئيسية وراء الجمع التلسكوبي ...

دلع بنوته · #2 07-07-2010, 11:44

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند

مهند الزهراني · #3 08-07-2010, 00:11

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دلع بنوته

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند

العفو :a_plain111:

وهذه امثلة أرجو منكم التدرب عليها وحلها هنا( على المجموع التلسكوبي )

1- اوجد قيمة

$\150dpi \frac{2}{1(1+2)}+\frac{2}{2(2+2)}+\frac{2}{3(3+2)}+\frac{2}{4(4+2)}+.....$

2- اوجد قيمة

$\150dpi \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....$

دلع بنوته · #4 08-07-2010, 00:16

طيب ماهو آخر حد ؟

مهند الزهراني · #5 08-07-2010, 00:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دلع بنوته

طيب ماهو آخر حد ؟

لا يوجد !!!

المتتالية الى مالانهاية !!!

ترا نفس فكرة السؤال السابق سوي نفس الشي وراح تلاحظي كويس وش حيصير :a_plain111:

عقروب الفيزياء · #6 08-07-2010, 17:16

السلم عليكم
اشكر الاخ لا أعرف شيئ على تساؤلاته القيمة واشكر الاخ مهند على ردوده المفيدة
بالنسبة للسوال الثاني $\150dpi \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....$
حاولت حله ولكن اعذروني على خطي

مهند الزهراني · #7 08-07-2010, 22:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة عقروب الفيزياء

السلم عليكم
اشكر الاخ لا أعرف شيئ على تساؤلاته القيمة واشكر الاخ مهند على ردوده المفيدة
بالنسبة للسوال الثاني $\150dpi \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....$
حاولت حله ولكن اعذروني على خطي

طريقتك دقيقة وجيدة ، لكن ربما لا تناسب المبتدأ بالموضوع ولكن فيها دقة رياضية جيدة ...

حلي بالرد التالي ،،

دلع بنوته · #8 08-07-2010, 00:22

طيب السيجما راح تكوون من 1 الى ؟؟؟؟
كيف اعوض عن آخر حد فقط و هو الى مالا نهاية ؟

مهند الزهراني · #9 08-07-2010, 00:28

لا تفكري الا لما تكتبي الحل وتوصلي للي براسي وراح تعرفي انك ما بتستفيدي من آخر حد أبدا !!!

بس فكري قليلا !!!

دلع بنوته · #10 08-07-2010, 01:01

هذا حلي

بس لا أحد يعلق على خطّي ولا ترى بعضكم خخخخخخ

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !