قوانين الأجسام الساقطة

عادل الثبيتي · #1 14-11-2010, 17:44

قوانين الأجسام الساقطة
هي قواعد تحكم سلوك الجسم الذي سُمح له بالسقوط إلى سطح الأرض دون أيَّة معوِّقات توقفه. تُسمى هذه القوانين قوانين الأجسام الساقطة. وكان الناس يعتقدون، منذ زمن أرسطو وحتى نهاية القرن السادس عشر الميلادي، أنه إذا أسقط جسمان مختلفا الكتلة من نفس الارتفاع وفي نفس اللحظة، فإنَّ الجسم الأثقل يرتطم بالأرض أولاً. لكنَّ العالم الإيطالي جاليليو لم يكن يعتقد صحة هذا، وبنى رأيه على التفكير المنطقي التالي:
إذا أسقط حجران لهما نفس الكتلة جنبًا إلى جنب فإنهما يسقطان معًا بنفس السرعة. فلو أنَّ الحجرين التصقا معًا، لوجب أن يسقط هذا الجسم بنفس السرعة أيضًا. أي أنَّ الحجر المنفرد يسقط بنفس السرعة التي يسقط بها الجسم الأثقل المكوَّن من حجرين ملتصقين.

الأجسام الساقطة تسقط بنفس المعدل بغض النظر عن الحركة الأفقية عندما يكون سقوطها بسبب الجاذبية. وبالرغم من أن الكرة الزرقاء تقطع مسافة أطول من المسافة التي تقطعها الكرة الحمراء فإنهما تصلان إلى الأرض في نفس الوقت. والحركة الأفقية التي سببها الأنبوب للكرة الزرقاء لن تؤثر على سرعتها الرأسية.

وقد خالف علماء آخرون جاليليو، وتحكي القصَّة المتواترة كيف أنه أثبت نظريته حوالي عام 1590م بإجراء تجربة عند برج بيزا المائل الشهير. تقول القصة إن جاليليو صعد إلى قمة البرج ومعه قذيفتا مدفع إحداهما كبيرة والأخرى صغيرة، وأسقطهما معًا في نفس اللحظة، فوصلتا إلى الأرض في نفس الزمن تقريبًا. وكان الاختلاف الزمني بينهما صغيرًا ولا يتوافق مع الفرق الكبير بين وزني القذيفتين. ولقد أرجع جاليليو هذا الفرق بين زمني وصول القذيفتين إلى مقاومة الهواء. وسواء أصدقت قصة إجراء جاليليو لهذه التجربة أم لا، فإن تعليله لنتيجتها يظل صحيحًا.
ولم يحسم الخلاف نهائيًا إلا في عام 1650م، عندما اختُرعت المضخة الهوائية. عندئذ، ثبت أنه إذا أُفرغ الهواء داخل أنبوبة طويلة، وأُسقط بداخلها عند نفس اللحظة ريشة وعُملة معدنية، فإنهما يسقطان معًا حتى يصلا إلى قاع الأنبوبة. وتُسمِّى القوة التي تجذب الأجسام ناحية الأرض الجاذبية .
ولقد وُجِد أن قوة الجاذبية هذه تؤثر على كل الأجسام بنفس الكيفية، بغض النظر عن أشكالها أو أحجامها أو كثافتها. فالأرض تجذب الأجسام ناحية مركزها، ومن ثم فإن كل الأجسام تسقط في خط مستقيم متجه إلى تلك النقطة، وهذا الاتجاه هو الذي نطلق عليه أسفل، ويكون عموديًا تمامًا على سطح مياه ساكنة.
وعند دراسة قوانين الأجسام الساقطة، نأخذ في الاعتبار ثلاثة أشياء: الأول المسافة التي يقطعها الجسم أثناء سقوطه، والثاني السرعة الاتجاهية للجسم أو سرعة الجسم، والثالث تسارع الجسم أي معدل سرعته أثناء السقوط. وسوف نرمز للكميات الثلاث السابقة بالحروف: ف، ع، جـ على التوالي.
إذا تركنا جسمًا يسقط سقوطًا حرًّا، فإن سرعته تزداد كلما امتدَّ سقوطه. وينص القانون الأول للأجسام الساقطة على أنه تحت تأثير جذب الأرض فقط، تسقط جميع الأجسام بنفس التسارع. وعليه إذا بدأت الأجسام حركتها من سكون، وازدادت سرعتها بنفس المعدل، فإنها تسقط بنفس السرعة.

الأ جسام الساقطة بحرية في الفراغ تسقط بنفس السرعة بغض النظر عن الحجم والشكل والوزن. غير أن الأجسام الساقطة في الهواء قد تنزل بسرعات مختلفة، وذلك لأن هذه الأشياء ذات الأشكال المختلفة تصادف عند سقوطها مقادير مختلفة من مقاومة الهواء.

وفي الواقع، عندما تسقط أجسام متباينة في الهواء، فإنها تسقط بسرعات مختلفة، ذلك لأن الهواء يقاوم الأجسام الساقطة، أي أنها لا تكون ساقطة تحت تأثير الجاذبية فقط. ويمكنك اختبار أثر المقاومة بإسقاط ورقتين من جريدة، إحداهما مفرودة، والأخرى مضغوطة على شكل كرة. فلكل من الورقتين نفس الوزن ولذلك فإنَّ ملاحظة سقوطهما توضح بجلاء أن فرق الشكل وليس فرق الكتلة هو الذي يسبِّب اختلاف السرعة التي تسقط بها الأجسام المتباينة.

وللجسم الساقط نفس قيمة التسارع في أي ثانية. فهو لا يزيد سرعته بدفعات فجائية، بل يوصف سقوطه بأنه حركة منتظمة التسارع. وهذا صحيح إذا كانت الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم. وتزيد سرعة الجاذبية المؤثرة على جسم يسقط مبتدئًا من سكون، في كلِّ ثانية من زمن السقوط، بنفس قدر السرعة التي يكون الجسم قد اكتسبها في نهاية أول ثانية من سقوطه. وسرعة جسم ساقط من السكون على خط عرض 40 تكون عند نهاية أول ثانية 9,8 متر في الثانية، ولذا فإن سرعته تزداد بمعدل 9,8 متر في الثانية لكل ثانية من زمن السقوط. ويقال إن تسارع الجسم 9,8 متر في الثانية في الثانية وهذا هو الرقم الذي يُستخدم في معظم الحسابات.

في نهاية الثانية الأولى:

ع = (صفر [السكون])+ 9,8) = 9,8م في الثانية.

في نهاية الثانية الثانية:

ع = (9,8+ 9,8) = 19,6م في الثانية.

في نهاية الثانية الثالثة:

ع = (19,6+ 9,8) = 29,4م في الثانية.

في نهاية الثانية الرابعة:

ع = (29,4+ 9,8) = 39,2م في الثانية.

والصيغة البسيطة لحساب سرعة جسم ساقط عند نهاية أي ثانية هي، إذن، حاصل ضرب عدد الثواني التي استغرقها سقوط الجسم مضروبًا في 9,8 متر في الثانية في الثانية.

وهناك أيضًا صيغة بسيطة لحساب المسافة التي يسقطها جسم في ثانية معينة. وللحصول على هذه المسافة أوجد حاصل ضرب المسافة التي يسقطها الجسم في الثانية الأولى في ضعف عدد الثواني بعد طرح العدد واحد منه. ولأن مسافة السقوط في الثانية الأولى هي دائمًا 4,9 متر، فإن مسافة السقوط في الثانية الثالثة تكون:

4,9 × [(2×3)-1] = 24,5م.

ومسافة السقوط في الثانية الرابعة هي:

4,9 × [(2×4)-1] = 34,3م.

وبإضافة المسافة المقطوعة في أيِّ ثانية معطاة إلى المسافات المقطوعة في الثواني السابقة، يُمكنك الحصول على المسافة الكلية المقطوعة في نهاية تلك الثانية. فمثلاً، يكون الجسم قد سقط في نهاية الثانية الثالثة مسافة كلية قدرها 4,9 + 14,7+24,5 أي 44,1م. ونلاحظ أنه يمكن كتابة العدد 44,1 على الصورة 3×3×4,9. ويمكن كتابة المسافة الكلية المقطوعة في نهاية الثانية الرابعة، وهي 78,4م. على الصورة 4×4×4,9متر. إذن فقد حصّلنا على صيغة مختصرة تنصُّ على أن المسافة الكلية التي يقطعها جسم ساقط في زمن معَّين هي حاصل ضرب العدد 4,9 في مربع الزمن مقيسًا بالثانية.

ويمكننا صياغة القوانين السابقة في صورة معادلات كما يلي:

سرعة الجسم بعد انقضاء ن ثانية هي: ع= 9,8× ز .

والمسافة المقطوعة خلال الثانية ن هي:

ف= (9,8/2) × (2ز -1) = 4,9 × (2ز -1)

والمسافة الكلية المقطوعة في نهاية الثانية ن هي:

ف = (9,8/2) ز² = 4,9 × ز².

والواقع أن صحة هذه المعادلات غير مقصورة على الأجسام الساقطة، وإنما تمتد لتشمل أي جسم يتحرك بتسارع منتظم. ويُمكن استبدال 9,8 متر في الثانية في الثانية بأي تسارع آخر جـ، وعندئذ نستطيع كتابة المعادلات الأكثر عمومية: ع = جـ ز ،
ف = ½ جـ ز².