مفاهيم اساسية فى الجبر

الصادق · #4 03-12-2010, 20:55

3-الحقل Field

الحقل F هو
a- الفئة $f_0,f_1,f_2,...$
b- وعمليتين هما الجمع (+) والضرب (.)
التى تحقق الشروط التالية

A- الفئة F عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع + عنصرها المحايد هو $f_0$ اى انها تحققالشروط A1-5

B1- خاصية الاغلاق
$f_if_j\in F$

B2- الخاصية التجميعية
$f_i(f_jf_k)=(f_if_j)f_k$

B3- العنصر المحايد
$f_i1=1f_i=f_i$

B4- لكل عنصر باستثناء $f_0$ يوجد معكوس
$f_if_i^{-1}=f_i^{-1}f_i=1, \qquad f_i\neq f_0$

B5- قانون التوزيع Distribution law
$\\ f_i(f_j+f_k)=f_if_j+f_if_k \\\\ (f_i+f_j)f_k=f_if_j +f_jf_k$

مثال(5):
الاعداد الحقيقية تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد الحقيقية
(تأكد من تحقق شروط الحقل )

مثال(6):
الاعداد المركبة يمكن كتابتها بالصورة $c=a1+ib, \qquad a,b\in R$ بحيث ان
$\\ 1.1=1\\ 1.i=i.1=i\\ i.i=-1$
تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد المركبة
(تأكد من تحقق شروط الحقل )

مثال (7):
الكوتيريونات Quaternions يمكن تمثيلها بالصورة $ضq=q_01+q_1\lambda_1+q_2\lambda_2+q_3\lambda_3 \qquad q_i\in R$
بحيث ان

$\\ \lambda_i1=1\lambda_i=\lambda_i \qquad i=1,2,3\\ \lambda_i\lambda_i=-1\\ \lambda_1\lambda_2=-\lambda_2\lambda_1=\lambda_3\\ \lambda_2\lambda_3=-\lambda_3\lambda_2=\lambda_1\\ \lambda_3\lambda_1=-\lambda_1\lambda_3=\lambda_2\\$

تمرين:
برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً.

اذا حقق الحقل الخاصية التالية فاننا نقول عنه حقل ابدالي
B6-الخاصية التبادلية
$f_if_j=f_jf_i$

سؤال: هل يعتبر الحقل الكواتيريوني حقلاً ابدالية ؟

يتبع.....

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !