مساعدة رياضية - الصفحة 2

مهند الزهراني · #11 07-07-2010, 11:40

كمثال على الجمع التلسكوبي نأخذ أبسط مسألة في هذا الموضوع ،،

افرض أنك تريد ايجاد المجموع التالي

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}$

هل ستوجده بالحساب اليدوي مثلا ؟ بالحاسبة ؟ كلها بتطلع منها بدون نتيجة بالنهاية ،،،

أولا تعال ولنحلل الكسر الموجود بالسؤال الى ما يدعى بالكسور الجزئية (partial fraction)

$\150dpi \frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

في هذا المثال الوضع بسيط ولا يحتاج لاستخدام طرق التحليل المتبعة والتي تستهلك وقتا ،،

الان دعنا لنستخدم خواص رمز المجموع

$\150dpi \sum_{n=1}^{n=100}\frac{1}{n^2+n}=\sum_{n=1}^{100}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}$

الآن ستلاحظ شيئا غريبا !!!

ستختفي كل الحدود ماعدا الحد الاول من المجموع الاول والحد الاخير من المجموع الثاني

$\150dpi \sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}=\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100} \right )-\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101} \right )=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$

هذه هي الفكرة الرئيسية وراء الجمع التلسكوبي ...

دلع بنوته · #12 07-07-2010, 11:44

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند

مهند الزهراني · #13 08-07-2010, 00:11

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دلع بنوته

وااال
اختصر وقت طويييييييييييل
وجهد .. و يقلل من احتما وجود اخطاء حسابية في الحل ..

شكرا مهند

العفو :a_plain111:

وهذه امثلة أرجو منكم التدرب عليها وحلها هنا( على المجموع التلسكوبي )

1- اوجد قيمة

$\150dpi \frac{2}{1(1+2)}+\frac{2}{2(2+2)}+\frac{2}{3(3+2)}+\frac{2}{4(4+2)}+.....$

2- اوجد قيمة

$\150dpi \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....$

دلع بنوته · #14 08-07-2010, 00:16

طيب ماهو آخر حد ؟

مهند الزهراني · #15 08-07-2010, 00:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دلع بنوته

طيب ماهو آخر حد ؟

لا يوجد !!!

المتتالية الى مالانهاية !!!

ترا نفس فكرة السؤال السابق سوي نفس الشي وراح تلاحظي كويس وش حيصير :a_plain111:

دلع بنوته · #16 08-07-2010, 00:22

طيب السيجما راح تكوون من 1 الى ؟؟؟؟
كيف اعوض عن آخر حد فقط و هو الى مالا نهاية ؟

مهند الزهراني · #17 08-07-2010, 00:28

لا تفكري الا لما تكتبي الحل وتوصلي للي براسي وراح تعرفي انك ما بتستفيدي من آخر حد أبدا !!!

بس فكري قليلا !!!

دلع بنوته · #18 08-07-2010, 01:01

هذا حلي

بس لا أحد يعلق على خطّي ولا ترى بعضكم خخخخخخ

مهند الزهراني · #19 08-07-2010, 01:21

تمام بدأتي تفكري بشكل كويس ...

لكن عندي ملاحظات ...

1- تحليلك للكسر فيه مشكلة ....

2- لا يجب أن تضعي حد آخر لأنه لو حللتي بطريقة صحيحة راح تلاحظي انه حتى الحد اللي بالمالانهاية راح يختفي أصلا وما راح يبقى الا كم حد بالبداية بس ، وافهم يا فهيم :a_plain111:

هذا توضيح بسيط لطريقة التحليل بالكسور الجزئية في حالة الكسور البسيطة ويمكنك الاستزادة من الكتب المتخصصة وخاصة في باب التكامل تجدي فصل مختص بالتكامل بالكسور الجزئية ...

الآن الحد النوني بالسؤال هو صحيح كما قلتي وهو $\150dpi \frac{2}{n(n+2)}$ لكن كيف نحلله ؟

الان عندنا المقام أصلا محلل لعاملين فراح نقول أن التحليل الأبسط راح يكون على الصورة

$\150dpi \frac{2}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$

الان تعالي ولنجمع الكسرين معا فيصبح

$\150dpi \frac{2}{n(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+2)}$

الآن المقام = المقام اذا البسط = البسط ، لكن كيف راح نستفيد من كذا ؟

الآن نهتم بالبسط وراح يصير بعد التبسيط التالي

$\150dpi 2=(A+B)n+2A$

الآن تذكري فكرة تساوي كثيرتي حدود ؟

لديك a,b أعداد حقيقية و n هو المجهول وواضح أن معامل n باليسار هو صفر اذا نستنتج أن

$\150dpi A+B=0\rightarrow (1)$

وكمان من التساوي نساوي العدد اللي باليسار مع العدد اللي باليمين وبالتالي

$\150dpi 2A=2\rightarrow A=1\rightarrow (2)\Rightarrow B=-1$

الان عوضي بقيم a,b وراح يطلع لك التحليل الصحيح للكسر ...

شوفي الفكرة بسيطة لكنها مهمة وراح تفيدك في حل التمرين مرة ثانية وحل التمرين اللي بعده ..

وفقك الله :a_plain111:

دلع بنوته · #20 08-07-2010, 01:27

يعني حلي غلط ؟

><

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !