spin observable

الصادق · #14 17-03-2010, 05:56

الان دعنا نطبق مفهوم مؤثر الكثافة لنحدد ما اذا كانت الحالة ابساي حالة نقية (مستقطبة) ام غير نقية
نلاحظ ان الكاتب قد اختار ان يتحدث عن حالة لف مغزلي اعلى (صفحة 3340 )(حالة الاستقطاب)
$|\psi\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$

الان اذا حسبنا مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$
و Trace مؤثر الكثافة يساوي
$\rm Tr \hat{\rho}=\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} =1$
وكما قلنا فى المشاركة السابقة فان هذه عبارة عن خاصية عامة تحققها كل من الحالات النقية والحالات غير النقية
الان اذا قمنا بحساب مربع مؤثر الكثافة فسوف نحصل على
$\\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin^2\frac{\theta}{2} (\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \end{pmatrix}=\hat{\rho}$
و هكذا طالما ان مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه فان ابساي عبارة عن حالة نقية وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}^2=1$

اما فى حالة عدم الاستقطاب فان المنظومة اما ان تكون فى حالة لف مغزلي اعلى
$|\psi_1\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$
باحتمال $P_1=\frac{1}{2}$
او تكون فى حالة لف مغزلي اسفل
$|\psi_2\rangle=\begin{bmatrix} \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ \\ -\cos\frac{\theta}{2}\end{bmatrix}$
باحتمال $P_2=\frac{1}{2}$
وعليه فان مؤثر الكثافة ( المعادلة (8)) يساوي

$\\ \hat{\rho}=\frac{1}{2}|\psi_1\rangle\langle\psi_1|+\frac{1}{2}|\psi_2\rangle\langle\psi_2|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sin^2\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \cos^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \hat{\rho}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
اما مربع مؤثر الكثافة
$\hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ 0& \frac{1}{4} \end{pmatrix}\neq \hat{\rho}$
لا يساوي نفسه ولذلك فان حالة عدم الاستقطاب هذه تمثل حالة غير نقية اي حالة خليط احصائي نسبة لتحقق الشرط
$\rm Tr \hat{\rho}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}< 1$
و هكذا نجد ان حالة عدم الاستقطاب هي حالة خليط لف مغزلي اعلى و لف مغزلي اسفل بأوزان (احتمالات) متساوية و هي كما برهنا هنا تمثل حالة غير نقية

هذا والله اعلم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !