spin observable - الصفحة 2

تغريـد · #11 15-03-2010, 18:23

و الله أنا يا أخي الكريم الصادق عاجزة عن الشكر
أن تمدني بنسخة إلكترونية للبحث و تفصل ما كان خافيا ولم أكن أدر بالفعل في أي اتجاه أسير
أسأل من الله أن يجزيك خير الجزاء أخي الكريم فهو وحده القادر على ذلك.
----------

أخي الكريم
لي تساؤل حول تمثيل اللف المغزلي بدوران
يبدو أن الدوران كافي عن التعبير عن كل ما يتعلق باللف المغزلي
أعلم أن الدوران في الفضاء الحقيقي يمثل مصفوفة محددها 1 فما هي شروط الدوران في الفضاء المركب؟
.----------

و في نفس الوقت ما اتخيله للمسألة أن لدينا عدد كبير جدا من الجسيمات لكل منها لها لف مغزلي 0.5 (هذه خاصية للجسيم )
و لكن هناك اتجاه للف المغزلي(أو خاصية يمكن تمثيلها رياضيا بدوران)
يتأثر من خلاله بالوسط المحيط،
و أن تعريض النظام لقوة ما يؤدي إلى استقطاب الجسيمات و تغيير اتجاه اللف المغزلي إن صح التعبير
و لكن ؟؟ الدوران يكون لكل نقاط النظام بحيث تتنتقل النقطة وبالتالي الجسيم من مكان لاخر
في حين مفهومي لاتجاه اللف المغزلي هو تغير اتجاه دوران العنصر حول لنفسه

أم ان النظام (ما سميته بكرة الوحدة )ككل تمثل حالة جسبم واحد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
----------

و اتساءل أيضا بالنسبة للدوران فإن الدوران هنا يكون في الفضاء
و تمثيله بدوران في مستوى مركب ألا يقلل من درجة الحرية للنظام من خلال ربط المستوى xy بعدد مركب واحد
----------

و اسمح لي أخي الكريم أن أتساءل عن mixed state هل ستكون عبارة عن تركيبة خطية من عناصر من pure state و ما هي شروطها كمؤثر
أقصد هل هي self adjoint operator
؟؟؟؟؟؟؟؟؟

أنا آسفة لكثرة الأسئلة و
من ناحية أخرى لو حسبنا متجه الحالة في حالة أن الاتجاه لأسفل فسوف نحصل على

$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi}\\\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$

من الواضح وجود علاقة بينها و بين حالة كون الاتجاه لأعلى فهل هناك تفسير لذلك ؟؟؟

.
.
.
أرجو ألا أثقل عليك و لكني أهتمامي في الأساس منصب على فهم ربط المؤئر في اتجاه y, z
لاني أرجو أن أصل لإعطاء معنى فيزيائي للدوال التي تظهر في آخر صفحة 3340 من البحث
لأن وجود مثل هذا المعنى يعزز كثيرا وجهة نظري التي أسعى لإثباتها في بحثي
فبارك الله فيك أخي الكريم و أفاض عليك من جوده و فضله

الصادق · #12 15-03-2010, 19:30

أرجو أيضا أن اعلم ما المقصود فيزيائيا هنا بحالة الاستقطاب و عدم الاستقطاب

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

الصادق · #13 15-03-2010, 21:04

الان نريد ان نحسب قيمة احتمال ان تتخذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور x , ولكن لما كان الاحتمال يساوي مربع سعة الاسقاط, وكان اسقاط المتجه ابساي فى اتجاه المحور x يُعطى بـ حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور
$_x\langle \pm|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \pm 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
فان مربع سعة الاسقاط يساوي
$\\w(\sigma_x=\pm 1)=|_x\langle \pm|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\pm cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}+\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\cos\phi}{2}$

اما احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور y يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه y :
$_y\langle \pm i|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \mp i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin \frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
اى ان الوزن المقابل يساوي
$\\w(\sigma_y=\pm 1)=|_y\langle \pm i|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\mp i cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}-\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$

اخيراً احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور z يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه z:
$\\ _z\langle +|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\cos\frac{\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_z=+1)=|_z\langle +|\psi\rangle|^2=\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\ \rm \; and \; \\ _z\langle -|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \\\\ w(\sigma_z=-1)=|_z\langle -|\psi\rangle|^2=\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\ \\ \rm \, therefore\; \\ \\ w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$

الصادق · #14 15-03-2010, 21:24

أخي الكريم
لي تساؤل حول تمثيل اللف المغزلي بدوران
يبدو أن الدوران كافي عن التعبير عن كل ما يتعلق باللف المغزلي
أعلم أن الدوران في الفضاء الحقيقي يمثل مصفوفة محددها 1 فما هي شروط الدوران في الفضاء المركب؟

نعم اختي الكريمة هذا صحيح حيث نجد ان الدوران فى المستوى المركب يُمثل بمصفوفات باولي و هي جميعها لها محددة تساوي الواحد

و في نفس الوقت ما اتخيله للمسألة أن لدينا عدد كبير جدا من الجسيمات لكل منها لها لف مغزلي 0.5 (هذه خاصية للجسيم )
و لكن هناك اتجاه للف المغزلي(أو خاصية يمكن تمثيلها رياضيا بدوران)
يتأثر من خلاله بالوسط المحيط،
و أن تعريض النظام لقوة ما يؤدي إلى استقطاب الجسيمات و تغيير اتجاه اللف المغزلي إن صح التعبير
و لكن ؟؟ الدوران يكون لكل نقاط النظام بحيث تتنتقل النقطة وبالتالي الجسيم من مكان لاخر
في حين مفهومي لاتجاه اللف المغزلي هو تغير اتجاه دوران العنصر حول لنفسه

أم ان النظام (ما سميته بكرة الوحدة )ككل تمثل حالة جسبم واحد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

الخيار الاخير هو الصحيح حيث ان الكرة تمثل فضاء هيلبرت للجسيم المُفرد و اذا كنا نتعامل مع اكثر من جسيم فيجب اخذ حاصل ضرب فضاءات هيلبيرت المقابلة للجسيمات المُفردة

و اتساءل أيضا بالنسبة للدوران فإن الدوران هنا يكون في الفضاء
و تمثيله بدوران في مستوى مركب ألا يقلل من درجة الحرية للنظام من خلال ربط المستوى xy بعدد مركب واحد

لا. لا يقلل من درجات الحرية للنظام لانه فى المستوى الحقيقي كان لدينا ثلاثة مركبات x و y و z اى ثلاثة درجات حرية ولكن لما كان نصف قطر الدائرة يساوى الواحد فان هذا الشرط سوف يتركنا مع درجتي حرية فقط لاننا نستطيع دائماً ان نكتب z بدلالة x و y
اما الكرة فى المستوى المركب يكون لها ايضاً درجتي حرية هما theta و phi مما يعني ان درجات الحرية متساوية سوى كنا نتعامل مع المستوى الحقيقي او المستوى المركب

هذا والله اعلم

تغريـد · #15 16-03-2010, 01:17

يارك الله فيك أخي الكريم و جزاك خير الجزاء

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

فى المشاركة السابقة توصلنا للمتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$

الان يمكننا ان نختار اى متجهين متعامدين من بين هذه المتجهات ليشكلا متجهات الاساس الذاتية
فمثلاً نلاحظ اننا نستطيع اعادة كتابة المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y كتوفيقات خطية على النحو التالي:
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{1}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\pm i \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_z\pm \frac{i}{\sqrt{2}} |-\rangle_z$

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

اما حالة عدم الاستقطاب فهي حالة لا تحقق الشروط اعلاه فمثلاً لو قمنا بكتابة توفيقة خطية بالصورة
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$
فان شرط المُعايرة (التطبيع) سوف يقود الى $|\alpha|^2+|\beta|^2$
الان حالة عدم الاستقطاب هي الحالة التى يكون لها متوسط لف مغزلي يساوي الصفر فى اتجاه المحاور الثلاث
$\\ \langle \eta|\sigma_x|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\beta+\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; pure \;imaginary\\ \\ \langle \eta|\sigma_y|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=-i\alpha^{\ast}\beta+i\alpha\beta^{\ast}=0\Rightarrow \alpha^{\ast}\beta\; \rm is \; real\\ \\ \langle \eta|\sigma_z|\eta\rangle=\begin{bmatrix} \alpha^{\ast} &\beta^{\ast} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}=\alpha^{\ast}\alpha-\beta^{\ast}\beta=0$

اذن من السطرين الاول والثاني نستنتج ان و احدة من الفا او بيتا يجب ان تساوي الصفر و لكن السطر الثالث يستلزم ان تكون الاخرى ايضاً مساوية للصفر و هكذا نرى انه من المستحيل ايجاد حالة عدم استقطاب بتوفيقة خطية تكتب بالشكل (من نقاط متقابلة (لف اعلى + ولف اسفل - )على سطح كرة الوحدة و على طول وتر يمر بمركزها )
$|\eta\rangle=\alpha|+\rangle_z+\beta |-\rangle_z$

هذا والله اعلم

أخي الكريم الصادق
هل هذا يعني أن ما ذكر في الفقرة قبل الأخيرة في صفحة 3339 غير صحيح أم تراني لم استوعب ما كتب جيد و كانت بالتالي ترجمتي له خاطئة

في الحقيقة كان ذلك القول مقنعا بالنسبة لي طالما كنا نتحدث عن نظام فيه عدد كبير من الجسيمات للفها المغزلي اتجاهات متباينة فكان من السهل التصور أن النتيجة للنظام ككل أن لا اتجاه للجميع

و لكن إذا كان الوصف لجسيم مفرد فمن المقنع أن يكون لا معني للجمع بين اتجاهين في نفس الوقت
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

الصادق · #16 16-03-2010, 01:51

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

يارك الله فيك أخي الكريم و جزاك خير الجزاء

أخي الكريم الصادق
هل هذا يعني أن ما ذكر في الفقرة قبل الأخيرة في صفحة 3339 غير صحيح أم تراني لم استوعب ما كتب جيد و كانت بالتالي ترجمتي له خاطئة

في الحقيقة كان ذلك القول مقنعا بالنسبة لي طالما كنا نتحدث عن نظام فيه عدد كبير من الجسيمات للفها المغزلي اتجاهات متباينة فكان من السهل التصور أن النتيجة للنظام ككل أن لا اتجاه للجميع

و لكن إذا كان الوصف لجسيم مفرد فمن المقنع أن يكون لا معني للجمع بين اتجاهين في نفس الوقت
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

هل تقصدين الفقرة التالية:

To visualize some aspects of the canonical classical extension of quantum mechanics, consider the description of the spin-;. The convex set SQ can be viewed as a unit sphere in three dimensions (see, e.g., [20]): any two diametrically opposed points on the surface represent the ‘up’ and ‘down‘ polarization (pure) states along some direction in ordinary space. The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent: for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state, but the choice of the axis is completely arbitrary, so that the (degenerate) density operator of the unpolarized state admits infinitely many convex decompositions into pure states.

الصادق · #17 16-03-2010, 02:13

ان كانت تلك هي الفقرة المقصودة فاني لا ارى تناقض فى الامر لان الكرة لا تمثل الجسيم المفرد وانما تمثل فضاء هيلبرت للحالات الكمية للجسيم المفرد. وكما نعلم فان فضاء هيلبرت فضاء يحتوي على عدد لانهائي من متجهات الحالة وهكذا فان اي شعاع فى الكرة يمثل حالة كمية ممكنة للجسيم المفرد وعدد الحالات الممكنة لانهائي كما هو عدد النقاط المتقابلة على سطح الكرة (عدد لانهائي)
هذا والله اعلم

تغريـد · #18 16-03-2010, 08:01

اعذرني أخي الكريم أني لم أستطع المتابعة مباشرة

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

هل تقصدين الفقرة التالية:

To visualize some aspects of the canonical classical extension of quantum mechanics, consider the description of the spin-;. The convex set SQ can be viewed as a unit sphere in three dimensions (see, e.g., [20]): any two diametrically opposed points on the surface represent the ‘up’ and ‘down‘ polarization (pure) states along some direction in ordinary space. The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent: for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state, but the choice of the axis is completely arbitrary, so that the (degenerate) density operator of the unpolarized state admits infinitely many convex decompositions into pure states.

نعم أخي الكريم ما قصدته بالضبط هو الجملة

"
The non-unique decomposability of non-pure states into pure states is geometrically apparent:
for instance, the mixture with equal weights of the ‘spin-up’ and ‘spin-down’ states along a given axis represents the unpolarized state
"

بارك الله فيك أخي الكريم و جزاك كل خير

تغريـد · #19 16-03-2010, 16:15

أرجو أن تعذرني أخي الكريم الصادق جزاك الله كل خير
أعتقد أني قد فهمت أين الخطأ في فهمي للعبارة
فمن توضيحك في المشاركة 13
بالإضافة إلى قول الباحثين في في معرض حديثهما ص 3341
the probability measure concentrated, with equal weights
وجدت أن
الخطأ أني ترجمت حالة عدم الاستقطاب على أن حالة تركيبة خطية من متجهات الحالة في اتجاه كل من x,y,z

و لكنه كان يقصد أنها تركيبة خطية من
الاحتمالات المقابلة لاتخاذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه أي متجه r.

و الله تعالى أعلم

الصادق · #20 17-03-2010, 03:28

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

أرجو أن تعذرني أخي الكريم الصادق جزاك الله كل خير
أعتقد أني قد فهمت أين الخطأ في فهمي للعبارة
فمن توضيحك في المشاركة 13
بالإضافة إلى قول الباحثين في في معرض حديثهما ص 3341
the probability measure concentrated, with equal weights
وجدت أن
الخطأ أني ترجمت حالة عدم الاستقطاب على أن حالة تركيبة خطية من متجهات الحالة في اتجاه كل من x,y,z

و لكنه كان يقصد أنها تركيبة خطية من
الاحتمالات المقابلة لاتخاذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه أي متجه r.

و الله تعالى أعلم

حياك الله اختي الكريمة تغريد
سوف احاول هنا ان اتحدث بـأختصار عن مؤثر الكثافة لان هذا المؤثر سوف يعطينا صورة اكثر وضوحاً

فى الحالة المثالية تكون لدينا منظومة لها دالة حالة مُعينة تماماً و لكن فى الوقع العملي كثيراً ما تكون دالة الحالة غير مُعينة فمثلاً الفوتونات المشعة من مصدر طبيعي لا تكون مستقطبة فى اتجاه محدد . اذن المشكلة التى توجهنا هي: كيف يمكن لنا ان نستفيد من معلومات غير مكتملة عن حالة المنظومة, لنحصل على اقصى قدرة للوصف من خلال ما توفر لنا من معلومات غير كاملة؟ وللاجابة على هذا السؤال سوف نتحدث عن وسيلة رياضية مهمة جداً هي مؤثر الكثافة الذي يسهل علينا (فى نفس الوقت) تطبيق فرضيات ميكانيكا الكم و نتائج الحسابات الاحتمالية

مفهوم الخليط الإحصائي للحالات الكمية
The concept of a statistical mixture of states
عند ما تكون لدينا معلومات غير كاملة عن اى نظام فاننا عادة ما نلجاء لمفهوم الاحتمال. و على سبيل المثال ، نحن نعرف أن الفوتون المنبعث من مصدر الضوء الطبيعي يمكن أن يتخذ اي حالة استقطاب وباحتمالات متساوية اي احتمال استقطابه فى اتجاه محدد يساوي احتمال استقطابه فى بقية الاتجاهات .
و بشكل عام ، فإن المعلومات غير مكتملة التى تتوفر لنا حول نظام عادة ما تطرح نفسها في ميكانيكا الكم ، على النحو التالي : قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ . مما يجعلنا نقول ان المنظومة فى حالة خليط احصائي بين الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ باحتمالات مقابلة $P_1$ و $P_2$ .

ملاحظات:
1- ليس بالضرورة ان تكون الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ متعامدة ولكن نستطيع دائماً ان نجعلها دوال مطبعة
2-ايضاً: يجب ملاحظة ان الاحتمالات تظهر على مستويين
اولاً فى المعلومات الابتدائية عن النظام (نحن لا نعرف على وجهة الدقة دالة الحالة التى تصف المنظومة)
ثانياً: عند اجراء عملية القياس (من فرضيات ميكانيكا الكم ) فان هناك عدم يقين فى نتائج القياس
اذن فان الاحتمالات فى المستوى الاول هى ناجمة فى الاساس من المعلومات غير المكتملة عن المنظومة (لدينا بعض الخبرة من الميكانيكا الاحصائية التقليدية عن هذه الحالة )
اما الاحتمالات التى تظهر فى المستوى الثاني فهي ناجمة عن عدم اليقين فى القياسات الكمية و هذه الحالة تخص ميكانيكا الكم فقط
3- يجب عدم الخلط بين المنظومة التى فى حالة خليط احصائي و بين كتابة متجه الحالة كتوفيقة خطية من متجهات الاساس المطبعة المتعامدة لان الاخيرة هي اسس نحن نختارها لوصف المنظومة بينما ان الاولى هي حالة ناجمة عن عدم توفر معلومات كاملة عن الحالة الابتدائية للمنظومة

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الحالات النقية The pure case

اعتبر المنظومة التى لها متجه الحالة
$|\psi(t) \rangle =\sum_{n}c_n(t)|u_n\rangle \qquad (1)$

حيث $\{|u_n\rangle\}$ هي متجهات الاساس (المطبعة المتعامدة) فى فضاء الحالة, والمعاملات $\{c_n(t)\}$ تحقق العلاقة التالية
$\sum_{n}|c_n(t)|^2=1 \qquad (2)$
التى تعبر عن حقيقة ان متجه الحالة $|\psi(t)\rangle$ عبارة عن متجه مطبع
نُعرف مؤثر الكثافة بـ
$\hat{\rho}(t)=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)| \qquad (3)$
ومركباته هي
$\rho_{mn}(t)=\langle u_m|\hat{\rho}(t)|u_n\rangle =\langle u_m|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|u_n\rangle =c_{m}^{\ast}(t)c_n(t)\qquad (4)$

الان نجد ان مجموع عناصر القطر الرئيسي لمؤثر الكثافة يُعطى بـ
$\sum_{n}\rho_{nn}(t)=\sum_{n}c_{n}^{\ast}(t)c_n(t)=\sum_{n}|c_n(t)|^2=1$
حيث استخدمنا الخاصية (3) . لما كان مجموع عناصر القطر الرئيسي هي trace مصفوفة المؤثر فان مؤثر الكثافة يمتاز بالخاصية :
$\rm Tr \hat{\rho}(t)=1\qquad (5)$

اما اذا قمنا بتربيع مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}(t)^2=|\psi(t)\rangle\underbrace{\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle}_{=1}\langle \psi(t)|=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|=\hat{\rho}(t)$
اي مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه و هذه الخاصية لا تتحقق الا فى حالة الحالات النقية
من الخاصيتين السابقتين يمكن ان نكتب الخاصية التالية
$\rm Tr \hat{\rho}(t)^2=1\qquad (6)$

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الخليط الاحصائي (الحالات غير النقية non-pure case)
قلنا ان الحالة الابتدائية (اى دالة الحالة ) غير مُعينة و بالتالي قد يكون النظام فى حالة $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد قد يكون النظام فى حالة $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ او عموما قد يكون النظام فى حالة $|\psi_j\rangle$ بحتمال $P_j$
و كل واحدة من هذه الحالات تُعرف مؤثر كثافة
$\hat{\rho}_j=|\psi_j\rangle\langle \psi_j| \qquad (7)$
و هكذا فان مؤثر الكثافة لحالة الخليط الاحصائي هي
$\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \hat{\rho}_j\qquad (8)$
الان اذا حسبنا الـ Trace لطرفي المعادلة الاخيرة فسوف نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \rm Tr\hat{\rho}_j$
و لما كان
$\rm Tr \hat{\rho}_j=1$
فان
$\rm Tr \hat{\rho}=\sum_{j}P_j =1$

اما اذا ربعنا مؤثر الكثافة فاننا نلاحظ من المعادلة (8) ان مربع مؤثر الكثافة لا يساوي نفسه
$\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}\qquad(9)$

و بدمج الخاصيتين السابقتين نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}^2\leq 1\qquad(10)$

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !