القطاع الزاوي

زولديك · #1 08-09-2010, 17:28

بعدين على فكرة عوض في القانون e=2pi و شف القانون الدي سينتج و هو pir.r و اعتقد ان هدا القانون هو مساحة الدائرة و إلا إدا هدا كما كان غلط , و ثم عوض باي زاوية تريد ينتج مساحة المقطع المحدود بالزاوية التي نريد وو اعتقد ان هدا المطلوب ,

Weierstrass-Casorati · #2 08-09-2010, 19:42

صراحة أنا لم أفهم طريقتك أخي لا أعرف شيئ
ولكن هذه محاولتي وأتمنى أن أرى رأيك

نريد حساب مساحة القطاع OQR (ولتكن A)
مساحته تساوي مساحة المنطقة OPQR (ولتكن A1) – مساحة المثلث OPQ الذي تساوي مساحته مساحة المثلث الأصفر (ولتكن A2)
$\120dpi \large A=A_1 - A_2$

ومساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الإرتفاع
$\120dpi \large A=A_1 - \frac{1}{2}r^2 \cos(\theta )\sin(\theta )\; \; \; \;\; \; \; \; (1)$

والآن ندع هذه المعادلة جانباً حتى نحسب A1
انت تعرف أننا يمكننا استخدام التكامل المحدود لحساب المساحات المستوية المحدودة بمنحنى ومحور ومستقيمين
في حالتنا هذه المساحة A1 محدودة بالمنحنى $\120dpi \large x=\sqrt{r^2 - y^2}$ والمحور $\120dpi \large y$ والمستقيمين الأفقيين $\120dpi \large y=0$ و $\120dpi \large y=r \sin(\theta)$

فيمكن حساب مساحته بإجراء التكامل التالي: [cc=نبدأ أولا بالتكامل بالتعويض]بالتكامل بالتعويض(ملحوظة سوف أنسى حدود التكامل الآن حتى أنتهي وعند اجراء التكامل المحدود نتخلص من الثابت)
$\120dpi \large y=r \sin(u)$

$\120dpi \large dy=r \cos(u)\; du$

$\120dpi \large \sqrt{r^2 - y^2} =\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(u)}= r\cos(u)$

حيث $\120dpi \large u=\sin^{-1}\left (\frac{y}{r} \right )$

$\120dpi \large \\ \cos(2u)=-1+2cos^2(u)\Leftrightarrow \cos^2(u)=\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}\\ \int\sqrt{r^2 - y^2}\; dy=r^2 \int cos^2(u)\; du\\ =r^2 \int (\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}) du\\ =r^2\int \frac{1}{2} du+\frac{r^2}{2} \int \cos(2 u) du$

وبتعويض آخر $\120dpi \large t=2u\Rightarrow du=\frac{1}{2}dt$

يصبح التكامل كالتالي:

$\120dpi \large \\ =\frac{r^2}{4} \int \cos(t) dt +r^2\int \frac{1}{2} du\\ =\frac{1}{4}r^2 \sin(t)+\frac{r^2u}{2}+c\\ \\ =\frac{1}{4}r^2 \sin(2\sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ))+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}r\; y \cos\left ( sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ) \right )+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}r\; y \sqrt{1-\frac{y^2}{r^2}}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}\; y \sqrt{r^2-y^2}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\$

ثم نستخدم ما وصلنا إليه في تكاملنا الأصلي[/cc]

$\120dpi \large \\ A_1=\int_{0}^{r \sin(\theta )}\sqrt{r^2 - y^2} \; dy\\ =\left [ \frac{1}{2}y\sqrt{r^2 - y^2}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ) \right ]_{0}^{r \sin(\theta )}\\ \\ =\frac{1}{2}r \sin{(\theta) }\sqrt{r^2(1-\sin^2(\theta))}+\frac{1}{2}r^2 \theta\\ \\ =\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{2}r^2 \theta\\$

وبالتعويض في المعادلة (1) نجد أن

$\120dpi \large \\ A=\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{2}r^2 \theta -\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)\\ \\ =\frac{1}{2}r^2 \theta$

واعتذر على الإطالة

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !