spin observable - الصفحة 3

الصادق · #1 20-03-2010, 08:16

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

اشكرك أخي الكريم بالغ الشكر
أخي الكريم لقد كفيت و وفيت و أنا لم أكن اطمع أبدا في أكثر توقعاتي أملا بالوصول لهذه المرحلة
أسأل الله أن يرضى عنك و أن يعطيك حتى يرضيك.

أخي الكريم يؤرقني منذ البارحة بعض التساؤلات فيما تحدث عنه في نطاق تعريف التوزبع المرتبط في اتجاه y, z و أود أن أعلم هل توافقني فيها أم لا لأن ذلك يساعدني في تحديد الوجهة التي أبحث فيها

أنه لو كان بالفعل يتعامل مع الدوران المغزلي لجسيمين فيفترض أن يكون لدينا اتجاه لكل منهما للاستقطاب
و بالتالي يجب أن تكون الدالة
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=w_1(\sigma_y=1)w_2 (\sigma_z=1)=\frac{1+\sin\theta _1\sin\phi_1}{2}\times \frac{1+\cos\theta_2}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta _2)(1+\sin\theta _1\sin\phi _1)=v(\theta _1, \phi _1, \theta _2, \phi _2)$

و هكذا بالنسبة للدوال الأخرى

الأمر الغريب الآخر هو كونه مثل النقاط الاربعة التي تمثل حاصل الضرب الكارتيزي للقيم الذاتية الممكنه لمؤثري اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z على أنها رؤوس هرم
رغم أنها في الواقع هي احداثيات رؤوس مربع ؟؟؟

و هذا يدفعني للتفكير بأن السبب قد يكون أن المثال يتعامل بالفعل كما أشرت أنت منذ البداية مع مؤثري اللف المغزلي في اتجاه y ,z لجسيم واحد
و لكن هذين المؤثرين غير متوافقان و بالتالي هناك تداخل لا بد أن يحدث ناجم عن عمليات القياس (أقصد أنهما يخضعان لمبدأ عدم التحديد كما ذكرت أنت من قبل )
و هذا قد يؤكده قول الكاتبان في صفحة 3341 في آخر أربع أسطر من الفقرة الأولي بأن

"it is impossible to have a joint observable of $\sigma _z \sigma _y$ in standard quantum mechanics"

فهل هناك ما يدعم ذلك أو ينفيه
سيسرني كثيرا أن أعلم رأيك في كل ذلك
و جزاك الله كل خير أخي الكريم الصادق و وفقك و سدد خطاك

بارك الله فيك اختي الكريمة و جزاك خيراً
اتفق معك فى ان فضاء هيلبرت للمنظومة التى بها جسيمين يحتوي على اربعة ابعاد

الأمر الغريب الآخر هو كونه مثل النقاط الاربعة التي تمثل حاصل الضرب الكارتيزي للقيم الذاتية الممكنه لمؤثري اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z على أنها رؤوس هرم
رغم أنها في الواقع هي احداثيات رؤوس مربع ؟؟؟

ما فهمته من نص البحث فى الفصل الخامس هو ان مؤثرات اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z هي map تنقل نقاط سطح الكرة الى probability measures
ارجو ان تراجعي الـ Dirac measure على الرابط التالي
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_measure
فربما انه يجب على معظم هذه التساؤلات لان الـ Dirac measure يتمتع بخاصية The Dirac measures are the extreme points of the convex set of probability measures on the sample space
اما من الناحية الفيزيائية فاني اتفق معك ومع الكاتب فى ان السبب هو it is impossible to have a joint observable of $\sigma _z \sigma _y$ in standard quantum mechanics

والله اعلم

الصادق · #2 18-03-2010, 00:14

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

1 - في هذا الجزء المقتطف من المشاركة رقم 12

تقصد أخي الكريم أن $\theta$
هنا هي
$\frac{\theta}{2}$
أليس كذلك ؟

نعم اختي الكريمة هذا صحيح. و لقد حاولت التعديل حينها ولكن انقضت العشرة دقائق و لم استطيع تعديل المعادلة. لذلك ارجو ان يقوم المشرف باستبدال المعادلة
$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

بـ

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\frac{\theta}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle_z+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

تغريـد · #3 18-03-2010, 12:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

نعم اختي الكريمة هذا صحيح. و لقد حاولت التعديل حينها ولكن انقضت العشرة دقائق و لم استطيع تعديل المعادلة. لذلك ارجو ان يقوم المشرف باستبدال المعادلة
$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

بـ

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\frac{\theta}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle_z+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

لا بأس أخي الكريم الأمر واضح و لكني خفت أنه هناك شيء لم انتبه له

تغريـد · #4 17-04-2010, 17:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

الان نريد ان نحسب قيمة احتمال ان تتخذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور x , ولكن لما كان الاحتمال يساوي مربع سعة الاسقاط, وكان اسقاط المتجه ابساي فى اتجاه المحور x يُعطى بـ حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور
$_x\langle \pm|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \pm 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
فان مربع سعة الاسقاط يساوي
$\\w(\sigma_x=\pm 1)=|_x\langle \pm|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\pm cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}+\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\cos\phi}{2}$

اما احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور y يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه y :
$_y\langle \pm i|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \mp i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin \frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
اى ان الوزن المقابل يساوي
$\\w(\sigma_y=\pm 1)=|_y\langle \pm i|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\mp i cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}-\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$

اخيراً احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور z يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه z:
$\\ _z\langle +|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\cos\frac{\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_z=+1)=|_z\langle +|\psi\rangle|^2=\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\ \rm \; and \; \\ _z\langle -|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \\\\ w(\sigma_z=-1)=|_z\langle -|\psi\rangle|^2=\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\ \\ \rm \, therefore\; \\ \\ w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$

أخي الكريم الصادق سأكون شاكرة جدا لو تابعت معي هذا المثال

و أرجو منك أن تصوبني إن أخطأت
الحقيقة أن لي بعض التوقعات البسيطة و لكنها ذات أهمية خاصة بالنسبة لي

بداية فيما يتعلق بحساب الاحتمالات وجدت ببعض الحسابات البسيطة أن حسابها بالطريقة التي أوضحتها في المشاركة السابقة مكافئ لحسابها من خلال إيجاد density matrix لكل من متجهي الحالة و ضربهما ثم حساب trace للمصفوفة الناشئة

و عليه حاولت تفسير العبارة التالية في أحد الأبحاث

For example, Let A and B be Bolarizing filters in planes perpendicular to the paricle beam, where A polarizes vertically and B at 45 angle. If the incoming beam is prepared in a state of horizontal polarization, then AoB will transmit no particles, while BoA will transmit particles.

و حاولت تفسير ذلك بأن نسبة الجسيمات التي تعبر ربما يعبر عنها الاحتمال
لأنه كان من الواضح في مشاركة لأخي شمس الخواص أن تلك النسبة تتناسب مع مربع دالة جيب التمام و التي تنجم دائما من خلال عملية الضرب القياسي للمتجهات

و كان واضحا من خلال مشاركاتك هنا أيضا أنعملية حساب الاحتمال مرتبط كثيرا بعملية الضرب القياسي

لذا توقعت تفسيرا للعبارة السابقة أن نسبة الجسيمات التي تتأثر بالجهاز ذا الاستقطاب العمودي على اتجاه استقطابها سيكون مرتبط cos الزاوية بينهما لذا ستكون النسبةصفرا و بالتالي لن تعبر الجهاز الثاني أي جسيمات

و لكن إن تأثرت الجسيمات في البداية بالمؤثر الذي يصنع زاوية 45 درجة فإن نسبة الجسيمات التي تستقطب في ذلك الاتجاه ستكون النصف و ستتغير حالة تلك الجسيمات لتصبح مستقطبة في اتجاه جديد
و بالتالي ستنتفي حالة كونه عمودي على اتجاه استقطاب الجهاو الثاني و بالتالي ستعبر أيضا نصف الجسيمات

و على ذلك توقعت أن النسبة الكلية هي ربع الجسيمات

إن صح ذلك فهو إشارة جيدة لما اقوم به
و لكن عندما حاولت ترجمة ذلك رياضيا لم اصل لنفس النتيجة
أرجو ان اعلم إن أمكن مكان الخطأ في استنتاجي

الصادق · #5 15-03-2010, 21:24

أخي الكريم
لي تساؤل حول تمثيل اللف المغزلي بدوران
يبدو أن الدوران كافي عن التعبير عن كل ما يتعلق باللف المغزلي
أعلم أن الدوران في الفضاء الحقيقي يمثل مصفوفة محددها 1 فما هي شروط الدوران في الفضاء المركب؟

نعم اختي الكريمة هذا صحيح حيث نجد ان الدوران فى المستوى المركب يُمثل بمصفوفات باولي و هي جميعها لها محددة تساوي الواحد

و في نفس الوقت ما اتخيله للمسألة أن لدينا عدد كبير جدا من الجسيمات لكل منها لها لف مغزلي 0.5 (هذه خاصية للجسيم )
و لكن هناك اتجاه للف المغزلي(أو خاصية يمكن تمثيلها رياضيا بدوران)
يتأثر من خلاله بالوسط المحيط،
و أن تعريض النظام لقوة ما يؤدي إلى استقطاب الجسيمات و تغيير اتجاه اللف المغزلي إن صح التعبير
و لكن ؟؟ الدوران يكون لكل نقاط النظام بحيث تتنتقل النقطة وبالتالي الجسيم من مكان لاخر
في حين مفهومي لاتجاه اللف المغزلي هو تغير اتجاه دوران العنصر حول لنفسه

أم ان النظام (ما سميته بكرة الوحدة )ككل تمثل حالة جسبم واحد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

الخيار الاخير هو الصحيح حيث ان الكرة تمثل فضاء هيلبرت للجسيم المُفرد و اذا كنا نتعامل مع اكثر من جسيم فيجب اخذ حاصل ضرب فضاءات هيلبيرت المقابلة للجسيمات المُفردة

و اتساءل أيضا بالنسبة للدوران فإن الدوران هنا يكون في الفضاء
و تمثيله بدوران في مستوى مركب ألا يقلل من درجة الحرية للنظام من خلال ربط المستوى xy بعدد مركب واحد

لا. لا يقلل من درجات الحرية للنظام لانه فى المستوى الحقيقي كان لدينا ثلاثة مركبات x و y و z اى ثلاثة درجات حرية ولكن لما كان نصف قطر الدائرة يساوى الواحد فان هذا الشرط سوف يتركنا مع درجتي حرية فقط لاننا نستطيع دائماً ان نكتب z بدلالة x و y
اما الكرة فى المستوى المركب يكون لها ايضاً درجتي حرية هما theta و phi مما يعني ان درجات الحرية متساوية سوى كنا نتعامل مع المستوى الحقيقي او المستوى المركب

هذا والله اعلم

الصادق · #6 16-03-2010, 02:13

ان كانت تلك هي الفقرة المقصودة فاني لا ارى تناقض فى الامر لان الكرة لا تمثل الجسيم المفرد وانما تمثل فضاء هيلبرت للحالات الكمية للجسيم المفرد. وكما نعلم فان فضاء هيلبرت فضاء يحتوي على عدد لانهائي من متجهات الحالة وهكذا فان اي شعاع فى الكرة يمثل حالة كمية ممكنة للجسيم المفرد وعدد الحالات الممكنة لانهائي كما هو عدد النقاط المتقابلة على سطح الكرة (عدد لانهائي)
هذا والله اعلم

الصادق · #7 17-03-2010, 03:28

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

أرجو أن تعذرني أخي الكريم الصادق جزاك الله كل خير
أعتقد أني قد فهمت أين الخطأ في فهمي للعبارة
فمن توضيحك في المشاركة 13
بالإضافة إلى قول الباحثين في في معرض حديثهما ص 3341
the probability measure concentrated, with equal weights
وجدت أن
الخطأ أني ترجمت حالة عدم الاستقطاب على أن حالة تركيبة خطية من متجهات الحالة في اتجاه كل من x,y,z

و لكنه كان يقصد أنها تركيبة خطية من
الاحتمالات المقابلة لاتخاذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه أي متجه r.

و الله تعالى أعلم

حياك الله اختي الكريمة تغريد
سوف احاول هنا ان اتحدث بـأختصار عن مؤثر الكثافة لان هذا المؤثر سوف يعطينا صورة اكثر وضوحاً

فى الحالة المثالية تكون لدينا منظومة لها دالة حالة مُعينة تماماً و لكن فى الوقع العملي كثيراً ما تكون دالة الحالة غير مُعينة فمثلاً الفوتونات المشعة من مصدر طبيعي لا تكون مستقطبة فى اتجاه محدد . اذن المشكلة التى توجهنا هي: كيف يمكن لنا ان نستفيد من معلومات غير مكتملة عن حالة المنظومة, لنحصل على اقصى قدرة للوصف من خلال ما توفر لنا من معلومات غير كاملة؟ وللاجابة على هذا السؤال سوف نتحدث عن وسيلة رياضية مهمة جداً هي مؤثر الكثافة الذي يسهل علينا (فى نفس الوقت) تطبيق فرضيات ميكانيكا الكم و نتائج الحسابات الاحتمالية

مفهوم الخليط الإحصائي للحالات الكمية
The concept of a statistical mixture of states
عند ما تكون لدينا معلومات غير كاملة عن اى نظام فاننا عادة ما نلجاء لمفهوم الاحتمال. و على سبيل المثال ، نحن نعرف أن الفوتون المنبعث من مصدر الضوء الطبيعي يمكن أن يتخذ اي حالة استقطاب وباحتمالات متساوية اي احتمال استقطابه فى اتجاه محدد يساوي احتمال استقطابه فى بقية الاتجاهات .
و بشكل عام ، فإن المعلومات غير مكتملة التى تتوفر لنا حول نظام عادة ما تطرح نفسها في ميكانيكا الكم ، على النحو التالي : قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ . مما يجعلنا نقول ان المنظومة فى حالة خليط احصائي بين الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ باحتمالات مقابلة $P_1$ و $P_2$ .

ملاحظات:
1- ليس بالضرورة ان تكون الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ متعامدة ولكن نستطيع دائماً ان نجعلها دوال مطبعة
2-ايضاً: يجب ملاحظة ان الاحتمالات تظهر على مستويين
اولاً فى المعلومات الابتدائية عن النظام (نحن لا نعرف على وجهة الدقة دالة الحالة التى تصف المنظومة)
ثانياً: عند اجراء عملية القياس (من فرضيات ميكانيكا الكم ) فان هناك عدم يقين فى نتائج القياس
اذن فان الاحتمالات فى المستوى الاول هى ناجمة فى الاساس من المعلومات غير المكتملة عن المنظومة (لدينا بعض الخبرة من الميكانيكا الاحصائية التقليدية عن هذه الحالة )
اما الاحتمالات التى تظهر فى المستوى الثاني فهي ناجمة عن عدم اليقين فى القياسات الكمية و هذه الحالة تخص ميكانيكا الكم فقط
3- يجب عدم الخلط بين المنظومة التى فى حالة خليط احصائي و بين كتابة متجه الحالة كتوفيقة خطية من متجهات الاساس المطبعة المتعامدة لان الاخيرة هي اسس نحن نختارها لوصف المنظومة بينما ان الاولى هي حالة ناجمة عن عدم توفر معلومات كاملة عن الحالة الابتدائية للمنظومة

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الحالات النقية The pure case

اعتبر المنظومة التى لها متجه الحالة
$|\psi(t) \rangle =\sum_{n}c_n(t)|u_n\rangle \qquad (1)$

حيث $\{|u_n\rangle\}$ هي متجهات الاساس (المطبعة المتعامدة) فى فضاء الحالة, والمعاملات $\{c_n(t)\}$ تحقق العلاقة التالية
$\sum_{n}|c_n(t)|^2=1 \qquad (2)$
التى تعبر عن حقيقة ان متجه الحالة $|\psi(t)\rangle$ عبارة عن متجه مطبع
نُعرف مؤثر الكثافة بـ
$\hat{\rho}(t)=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)| \qquad (3)$
ومركباته هي
$\rho_{mn}(t)=\langle u_m|\hat{\rho}(t)|u_n\rangle =\langle u_m|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|u_n\rangle =c_{m}^{\ast}(t)c_n(t)\qquad (4)$

الان نجد ان مجموع عناصر القطر الرئيسي لمؤثر الكثافة يُعطى بـ
$\sum_{n}\rho_{nn}(t)=\sum_{n}c_{n}^{\ast}(t)c_n(t)=\sum_{n}|c_n(t)|^2=1$
حيث استخدمنا الخاصية (3) . لما كان مجموع عناصر القطر الرئيسي هي trace مصفوفة المؤثر فان مؤثر الكثافة يمتاز بالخاصية :
$\rm Tr \hat{\rho}(t)=1\qquad (5)$

اما اذا قمنا بتربيع مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}(t)^2=|\psi(t)\rangle\underbrace{\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle}_{=1}\langle \psi(t)|=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|=\hat{\rho}(t)$
اي مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه و هذه الخاصية لا تتحقق الا فى حالة الحالات النقية
من الخاصيتين السابقتين يمكن ان نكتب الخاصية التالية
$\rm Tr \hat{\rho}(t)^2=1\qquad (6)$

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الخليط الاحصائي (الحالات غير النقية non-pure case)
قلنا ان الحالة الابتدائية (اى دالة الحالة ) غير مُعينة و بالتالي قد يكون النظام فى حالة $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد قد يكون النظام فى حالة $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ او عموما قد يكون النظام فى حالة $|\psi_j\rangle$ بحتمال $P_j$
و كل واحدة من هذه الحالات تُعرف مؤثر كثافة
$\hat{\rho}_j=|\psi_j\rangle\langle \psi_j| \qquad (7)$
و هكذا فان مؤثر الكثافة لحالة الخليط الاحصائي هي
$\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \hat{\rho}_j\qquad (8)$
الان اذا حسبنا الـ Trace لطرفي المعادلة الاخيرة فسوف نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \rm Tr\hat{\rho}_j$
و لما كان
$\rm Tr \hat{\rho}_j=1$
فان
$\rm Tr \hat{\rho}=\sum_{j}P_j =1$

اما اذا ربعنا مؤثر الكثافة فاننا نلاحظ من المعادلة (8) ان مربع مؤثر الكثافة لا يساوي نفسه
$\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}\qquad(9)$

و بدمج الخاصيتين السابقتين نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}^2\leq 1\qquad(10)$

الصادق · #8 17-03-2010, 05:56

الان دعنا نطبق مفهوم مؤثر الكثافة لنحدد ما اذا كانت الحالة ابساي حالة نقية (مستقطبة) ام غير نقية
نلاحظ ان الكاتب قد اختار ان يتحدث عن حالة لف مغزلي اعلى (صفحة 3340 )(حالة الاستقطاب)
$|\psi\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$

الان اذا حسبنا مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$
و Trace مؤثر الكثافة يساوي
$\rm Tr \hat{\rho}=\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} =1$
وكما قلنا فى المشاركة السابقة فان هذه عبارة عن خاصية عامة تحققها كل من الحالات النقية والحالات غير النقية
الان اذا قمنا بحساب مربع مؤثر الكثافة فسوف نحصل على
$\\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin^2\frac{\theta}{2} (\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \end{pmatrix}=\hat{\rho}$
و هكذا طالما ان مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه فان ابساي عبارة عن حالة نقية وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}^2=1$

اما فى حالة عدم الاستقطاب فان المنظومة اما ان تكون فى حالة لف مغزلي اعلى
$|\psi_1\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$
باحتمال $P_1=\frac{1}{2}$
او تكون فى حالة لف مغزلي اسفل
$|\psi_2\rangle=\begin{bmatrix} \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ \\ -\cos\frac{\theta}{2}\end{bmatrix}$
باحتمال $P_2=\frac{1}{2}$
وعليه فان مؤثر الكثافة ( المعادلة (8)) يساوي

$\\ \hat{\rho}=\frac{1}{2}|\psi_1\rangle\langle\psi_1|+\frac{1}{2}|\psi_2\rangle\langle\psi_2|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sin^2\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \cos^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \hat{\rho}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
اما مربع مؤثر الكثافة
$\hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ 0& \frac{1}{4} \end{pmatrix}\neq \hat{\rho}$
لا يساوي نفسه ولذلك فان حالة عدم الاستقطاب هذه تمثل حالة غير نقية اي حالة خليط احصائي نسبة لتحقق الشرط
$\rm Tr \hat{\rho}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}< 1$
و هكذا نجد ان حالة عدم الاستقطاب هي حالة خليط لف مغزلي اعلى و لف مغزلي اسفل بأوزان (احتمالات) متساوية و هي كما برهنا هنا تمثل حالة غير نقية

هذا والله اعلم

الصادق · #9 17-03-2010, 07:01

و اسمح لي أخي الكريم أن أتساءل عن mixed state هل ستكون عبارة عن تركيبة خطية من عناصر من pure state و ما هي شروطها كمؤثر
أقصد هل هي self adjoint operator
؟؟؟؟؟؟؟؟؟

لقد تحدثنا عن هذه النقطة فى المشاركتين السابقتين ووضحنا انها لا تمثل مؤثر و انما يمكننا باستخدامها ان نبني مؤثر الكثافة

من ناحية أخرى لو حسبنا متجه الحالة في حالة أن الاتجاه لأسفل فسوف نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi}\\-\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$

من الواضح وجود علاقة بينها و بين حالة كون الاتجاه لأعلى فهل هناك تفسير لذلك ؟؟؟

نعم هذا صحيح و العلاقة بينهما هي التعامد اي ان حالة الف المغزلي الاعلي تتعامد مع حالة اللف المغزلي الاسفل اي يوجد استقلال خطي و التفسير هو اما ان تكون المنظومة فى حالة لف مغزلي اعلى او ان تكون فى حالة لف مغزلي اسفل

أرجو ألا أثقل عليك و لكني أهتمامي في الأساس منصب على فهم ربط المؤئر في اتجاه y, z
لاني أرجو أن أصل لإعطاء معنى فيزيائي للدوال التي تظهر في آخر صفحة 3340 من البحث
لأن وجود مثل هذا المعنى يعزز كثيرا وجهة نظري التي أسعى لإثباتها في بحثي
فبارك الله فيك أخي الكريم و أفاض عليك من جوده و فضله

لا ابداً اختي الكريمة لم تثقلي علي مطلقاً و اني احاول بعون الله تعالى ان اساعد فى حدود معرفتي المتواضعة
لقد توصلنا فى المشاركة رقم 13 فى حالة الكرة (الحالات النقية) الى
$w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$
و الى
$w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$
وهكذا نجد ان احتمال ان تكون المنظومة فى حالة لف اعلى فى محور y و لف اعلى فى محور z هو حاصل ضرب الاحتمالات المقابلة
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=w(\sigma_y=1)w(\sigma_z=1)=\frac{1+\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1+\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta)(1+\sin\theta\sin\phi)=v(\theta,\phi)$
اما احتمال ان تكون المنظومة فى حالة لف اسفل فى محور y و لف اعلى فى محور z هو حاصل ضرب الاحتمالات المقابلة
$\\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=1)=w(\sigma_y=-1)w(\sigma_z=1)=\frac{1-\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1+\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta)(1-\sin\theta\sin\phi)=\frac{1+\cos \theta}{2}-v(\theta,\phi)$
وبنفس الطريقة نحصل على
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=-1)=w(\sigma_y=1)w(\sigma_z=-1)=\frac{1+\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1-\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=-1)=\frac{1}{4}(1+\sin\theta\sin\phi)(1-\sin\theta\sin\phi)=\frac{1+\cos\theta}{2}-v(\theta,\phi)$
وعلى
$\\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=-1)=w(\sigma_y=-1)w(\sigma_z=-1)=\frac{1-\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1-\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=-1)=\frac{1}{4}(1-\sin\theta\sin\phi)(1-\sin\theta\sin\phi)=v(\theta,\phi)-\frac{\sin\theta\sin\phi}{2}-\frac{\cos\theta}{2}$

اما فى الحالة العامة (مثلاً فضاء جزئي داخل الكرة , لقد اخذ الكاتب حالة tetrahedron) فان الدالة v يمكن ان تأخذ اي قيمة تجعل الاحتمالات الاربعة اعلاه موجبة و حتى اختيارنا السابق يبقى صحيحاً طالما انه حقق قيم احتمالات موجبة

والله اعلم

الصادق · #10 02-04-2010, 19:52

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اختي الكريمة تغريد
شكراً لك على الدعوات الطيبات و اسأله تعالى ان يزيدك من معين عطاءه علما و حلما و فضلا و حكمة و رضوان
حتى يجمعك برفقة سيد الخلق أجمعين محمد صلوات ربي و سلامه عليه و على أصحابه و من والاه
كما اشكرك ايضاً على الكلمات المعبرة للشيخ سيد قطب

شكر الله لك و بارك فيك وجزاك كل خير

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !