مجاميع مثلثية!

تغريـد · #1 26-08-2009, 21:46

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

$\sum_{i=1}^{360}sinx$

والصيغة الثانية:

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x$

أنت مثلي إذا
فهناك مساقات في الرياضيات لا أطيقها
و من سوء حظي أن منها المعادلات التفاضلية و التحليل العددي

على كل حال ألا يفترض أن تكون
$\sum_{i=1}^{360}sinx=0$
لان كل زاوية في الربع الأول و الثاني جيبها موجب يقابلها زاوية في الربع الثالث و الرابع على الترتيب جيبها سالب

بينما يجب أن يكون

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4\sum_{i=1}^{90}sin^2x$
لأن أي زاوية في الربع الثاني أو الثالث أو الرابع يقابلها زاوية في الربع الأول لها نفس الجيب (لو لم ننتبه للإشارة بسبب التربيع )

و في نفس الوقت كل زاوية من صفر إلى 45

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= \sum_{i=1}^{45} sin^2x+ sin^2 (90-x)=\sum_{i=1}^{45}1=45$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times 45=180$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

تغريـد · #2 26-08-2009, 22:06

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))-sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

الصادق · #3 27-08-2009, 06:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))-sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

رابح26 · #4 29-08-2009, 00:49

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أعتقد أن نتيجة الأخ الأستاذ الصادق صحيحة

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

$\sum_{k=1}^{360}\sin^{2}k=\sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}\left(1-\cos2k \right)=\sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}-\sum_{k=1}^{360}\frac{sin2k}{2}=\frac{360}{2}-0=180$
وذلك لأن مجموع الدالة cos2k يمتد على دورين كاملين عندما يمتد k على دور واحد (من 1 إلى 360)
وفي كل دور يأخذ قيم موجبة بمقدار ما يأخذ قيم سالبة وبالتالي يكون المجموع صفر ويبقى فقط نصف 360
أي أن النتيجة المطلوبة 180

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !