مساعدة في النهايات

تغريـد · #38 31-08-2010, 21:05

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على الشرح والتوضيح الرائعيين

النقطة التي كنت اتحدث حولها هي ان جوار a يقترب كفاية sufficiently near اما جوار النهاية فهو قريب اعتباطياً arbitrarily near
ووجود النهايات العظمى والصغرى (الاهتزازات) المنتظمة يعني ان النهاية غير موجودة لان قيمة النهاية لاتستقر عند النقطة او بشكل اخر فان النهاية غير محدودة unbounded
فمثلاً الدالة $\120dpi \sin \frac{1}{x}$ ليس لها نهاية عند النقطة x=0 والسبب هو تذبذب الدالة غير المحدود
واذا اخترنا جوار حول النهاية delta=1/2 وافترضنا ان النهاية موجودة وتساوي قيمة ثابتة معينة c فان
$\120dpi |\sin \frac{1}{x}-c|<\frac{1}{2}$

ويمكن ان نختار نقتطين
$\120dpi x_1=\frac{1}{(2n+\frac{1}{2})\pi},\qquad x_2=\frac{1}{(2n-\frac{1}{2})\pi}$
لنحصل على
$\120dpi \\ \sin \frac{1}{x_1}=\sin(2n+\frac{1}{2})\pi=1\\ \sin \frac{1}{x_2}=\sin(2n-\frac{1}{2})\pi=-1$
اذن فان
$\120dpi \\ |\sin \frac{1}{x_1}-c|=|1-c|<\frac{1}{2}\\ |\sin \frac{1}{x_2}-c|=|1+c|<\frac{1}{2}\\$
مما يقود الى التناقض التالي
$\120dpi \\ 2=|1-c+1+c|\leq||1-c|+|1+c|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow 2<1$
وتناقض يبرهن ان النهاية غير موجودة

ولكن اذا قمنا باختيار جوار كبير حول النهاية و ليكن مثلاً delta=2 فلن نصل الى حالة التناقض. و بتكرار الخطوات السابقة
$\120dpi |\sin \frac{1}{x}-c|<2$
و
$\120dpi \\ |\sin \frac{1}{x_1}-c|=|1-c|<2\\ |\sin \frac{1}{x_2}-c|=|1+c|<2\\$
وهكذا فان
$\120dpi \\ 2=|1-c+1+c|\leq||1-c|+|1+c|=2+2=4\Rightarrow 2<4$

وعليه فان هذا الجوار غير مناسب ويجب ان نختار جوار اصغر منه
اذن لحساب النهاية نحن نسعى للاقتراب من النهاية فيمكن ان نبدأ بجوار كبير ولكن يبجب ان نسعى لنقترب من النهاية والا فلن نعرف وجود النهاية من عدمه وكما قلت اختي الكريمة فان الجوار يشبه عدسة المنظار التي ننظر بها للنهاية و لكن حساب النهاية هو ضبط العدسة بالاقتراب من النهاية

اخيراً اريد ان اقول تعليقاً على الدالة $x \sin(x^{-1})$
اذا كانت الاهتزازات تتناقص ارتفاعتها من جانبي نقطة النهاية كلما سعينا نحو نقطة النهاية فاننا نتوقع ارتفاع يساوي الصفر عند نقطة النهاية وعليه فان النهاية موجودة و تساوي الصفر وحساب النهاية يتم عن تطريق تضيق الخناق على الدالة باستخدام دوال معلومة السلوك تحصر الدالة (الساندوش)

اذن اعتراضي كان يكمن في المقارنة بين اختيار جوار يقرب النقطة والوصول للنهاية عن طريق الاقتراب اكثر واكثر من نقطة النهاية و بين اختيار جوار كبير S_1 لدراسة سلوك الدالة من دون الاقتراب من الدالة و القول بان الدالة تتناقص او تتزايد خلال هذا الجوار. ربما ان وجهة نظري غير صحيحة حول هذه النقطة او انني لم افهم المغزى الذي كان يرمي له اخي الكريم "لا اعرف شئ".

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على هذا النقاش الرائع المثمر جداً
وزادك الله علماً وحكمة وفقك الله لما يحب و يرضى

بارك الله فيك أخي الكريم الصادق
فمن غرس حب العلم في نفسه يطرب دوما لسماع المعلومة الجميلة و النقاش المثمر.
(أو كما كان يقول أخي و أستاذي المتفيزق)

نعم أخي الكريم إذا أردنا حساب النهاية يجب ضبط العدسة بالاقتراب من النهاية بصورة لا نهائية

أما اختيار ذلك الجوار s فيما سبق من نقاش
فلم يكن لحساب ذات النهاية
و إنما كان تعاملا مع جزئية من تعريف النهاية عند تثبيت نصف قطر جوار r حول النهاية b
كما كان في المثال الموضح بالرسم.
و كنت أهدف من خلاله تأكيد المنطق الرياضي لجزئية من عبارات التعريف
لأنه في كثير من الأحيان يحدث خلط في تلك النقطة

نعم أخي الكريم توضيحك بالنسبة للدوال $x \sin(x^{-1})$
$\sin(x^{-1})$
دقيق تماما

و كذلك يمكن استخدام التعريف في إثبات وجود النهاية للدالة $x \sin(x^{-1})$
.
وفقك الله أخي الكريم لما فيه خير الدنيا و الآخرة و أنعم عليك بعفوه و عافيته و رضاه

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !