كيفية حساب المتجهات الذاتية؟

محمد ابوزيد · #1 06-01-2011, 11:39

يمكننا ايجاد المتجهات الذاتية $x$ والقيمة الذاتية $\lambda$
من خلال التعويض فى المعادلة :

مثال:

لايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية من

نلاحظ الاتى :

$A$

هى المصفوفة الاصلية المعطاه و $\lambda$ هى القيمة الذاتية التى نريد الحصول عليها
و $I$
هى مصفوفة الوحدة وهنا ستكون على النظم 3×3
$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ويكون حاصل ضرب $\lambda$ فى مصفوفة الوحدة $I$ هو:

$\lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0& \lambda &0 \\ 0&0 &\lambda \end{pmatrix}$

والان نوجد محدد $(A-\lambda I)$

المعروف ب :

$det(A-\lambda I))$

فيكون ناتج التعويض كالاتى:
مع فك المحدد الناتج بعناصر اى صف او اى عمود كما هو متبع فى المحددات
كما هنا فى هذا المثال (هناك طريقة اخرى)

ومنها نحصل على القيم الذاتية

$\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=0,\lambda _{3}=5$

الان نريد حساب المتجهات الذاتية للقيم الذاتية

تابع:

اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد · #2 06-01-2011, 12:09

لدينا ثلاث قيم للقيمة الذاتية $\lambda$

اولا:

المتجهات الذاتية للقيمة الذاتية نحصل عليها من خلال حل المعادلة :

التى تحدثنا عنها فى بداية الموضوع
ولكن بوضع:

$\lambda _{3}=\lambda$

كالاتى:

وسيتكون لدينا ثلاث معادلات لحلها سنختار طريقة جاوس

تابع:

اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد · #3 06-01-2011, 13:46

عندما نقوم بفك المحدد

$\begin{pmatrix} -3& 0 &1 \\ 0& -2&1 \\ 0&6 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

سنقوم بضرب عناصر الصف الاول فى العمود الاول
فنحصل على المعادلة الاولى
$-3x_{1}+x_{3}=0$
و ضرب عناصر الصف الثانى فى العمود الثانى
فنحصل على المعادلة الثانية
$-2x_{2}+x_{3}=0$
وضرب عناصر الصف الثالث فى العمود الثالث
فنحصل على المعادلة الثالثة
$6x_{2}-3x_{3}=0$

محمد ابوزيد · #4 06-01-2011, 14:44

نريد حل هذه المعادلات معا وهى ثلاث معادلات فى ثلاث مجاهيل
لن تفلح طريقة كرامر فى حلهم معا
لان الناتج سيكون :

$x_{1}=\frac{0}{0},x_{2}=\frac{0}{0},x_{3}=\frac{0}{0}$

محمد ابوزيد · #5 06-01-2011, 15:26

لذا سنقوم بحلها
بطريقة Gauss - Jordan جاوس - جوردون

وفيها سنحاول استخدام خواص المحددات فى المحدد :

$\begin{vmatrix} -3& 0&1 & 0\\ 0& -2 & 1 &0 \\ 0& 6& -3 & 0 \end{vmatrix}$

لنصل الى الشكل التالى:

$\begin{vmatrix} 1& 0&0 & x_{1}\\ 0& 1 & 0 &x_{2} \\ 0& 0& 1& x_{3} \end{vmatrix}$

ويكون حل النظام هو:
$x_{1}= ?, x_{2}= ?, x_{3}= ?$

محمد ابوزيد · #6 06-01-2011, 16:01

ملاحظة:

اذا فكرت تخيليا فى حل هذه المعادلات الثلاثة معا:
$-3x_{1}+x_{3}=0$

$-2x_{2}+x_{3}=0$

$6x_{2}-3x_{3}=0$

ستكتشف ان:

$x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=\frac{1}{2},x_{3}=1$

هى حلول للمعادلات الثلاثة معا

وهذا معناه:

ان المعادلات لها حل

وانه ليس معنى ان النواتج = صفر فى المعادلات الثلاثة انه ليس لها حل

محمد ابوزيد · #7 06-01-2011, 16:27

ولكن هناك نوعان من المعادلات الخطية التى يتم حلها معا

المعادلات الغير متجانسة والتى يكون النواتج فيها لها قيم
والمعادلات المتجانسة ويكون النواتج فيها صفر

وبالتالى فان المعادلات السابقة هى معادلات متجانسة

nuha1423 · #8 06-01-2011, 19:02

سلمت يداك بارك الله فيك وجزاك خيراً

محمد ابوزيد · #9 06-01-2011, 19:42

نحاول تبسيط المحدد كالاتى:

مرجانه · #10 06-01-2011, 19:42

بارك الله فيك استاذ محمد
حساب المتجهات الذاتيه مهمه جدا في دراسه مكانيكا الكم
موفق اخي الكريم .

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !