أسئلة اولمبياد جميلة،،،

مهند الزهراني · #1 20-04-2010, 20:05

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة nuha1423

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيكم أيها الرائعون

شكرا لك استاذة نهى على المرور والتشجيع ،،،

لحل السؤال الثاني نفترض ما يلي :

$\200dpi \sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}=a \ ,\sqrt[3]{5-2\sqrt{12}}=b$

وواضح جدا الان اننا نطلب قيمة a+b مما سبق نستنتج أن :

$\200dpi a^3+b^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}=10$

نحن نعلم المتطابقة التالية :

$\200dpi a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

لنغيرها قليلا ونكتبها بالصورة المكافئة التالية :

$\200dpi a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)$

الان لنوجد قيمة ab :

$\200dpi ab=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}\times \sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}=\sqrt[3]{25-62}=\sqrt[3]{-27}=-3$

وبنشر القوس الكبير في المتطابقة وبعمليات جبرية بسيطة وبالتعويض بقيمة ab نخلص للمعادلة النهائية :

$\200dpi a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\Rightarrow (a+b)^3+9(a+b)-10=0$

وبالتعويض وحل المعادلة :

$\200dpi a+b=x \Rightarrow x^3+9x-10=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x+10)=0\Rightarrow a+b=1$

وباقي الحلول ترفض حيث انها حلول مركبة مترافقة ،،،

ملاحظة هامة :

لاحظنا في المسائل السابقة انه ليس من الضروري استنتاج قيم المجاهيل كلها لنتمكن من ايجاد المطلوب وانما نكتفي بالحيل الرياضية الجبرية للوصول للمطلوب ،،،

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !